Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:+ Đặt \(\tan x = t \Rightarrow f\left( t \right) = \dfrac{{\left( {2m + 1} \right)t + 1}}{{t + m}}\)

Nhận xét: Khi x tăng từ \(0 \to \dfrac{\pi }{2}\) thì t tăng từ \(0 \to  + \infty \)
\( \Rightarrow \) Tính chất đơn điệu của \(f\left( x \right)\) và \(f\left( t \right)\) giống nhau trong các khoảng tương ứng.
\( \Rightarrow \) ycbt\( \Leftrightarrow f\left( t \right) = \dfrac{{\left( {2m + 1} \right)t + 1}}{{t + m}}\) phải đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
* TH1: Xét \(2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow f\left( t \right) = \dfrac{1}{t}\) .
Khi t tăng từ \(0\) đến \( + \infty \) thì \(f\left( t \right)\) tiến dần về 0
\( \Rightarrow \) luôn nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow m =  - \dfrac{1}{2}\) không thỏa mãn
* TH2: Xét \(2m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - \dfrac{1}{2}\) (Hàm số là hàm bậc 1 / bậc 1)
+ ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}t \ne  - m\\t \in \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right. \Rightarrow  - m \notin \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow  - m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 0\,\,\left( 1 \right)\)
+ \(f'\left( t \right) = \dfrac{{m.\left( {2m + 1} \right) - 1}}{{{{\left( {t + m} \right)}^2}}} > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow 2{m^2} + m - 1 > 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow m > \dfrac{1}{2}\)
Kết hợp cả TH1 + TH2 \( \Rightarrow m > \dfrac{1}{2}\)
Kết hợp với điều kiện đề bài cho \(m \in \left( { - 2020;2020} \right)\) \( \Rightarrow m \in \left( {\dfrac{1}{2};2020} \right)\)
Vậy có 2019 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán
Chọn C.