Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

- Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
- Đổi \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\) sang \(d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)\).
- Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,BM\). Trong \(\left( {SHN} \right)\) kẻ \(HK \bot SN\,\,\left( {K \in SN} \right)\), chứng minh \(HK \bot \left( {SAB} \right)\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.Giải chi tiết:
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(SH \bot AB\) (do \(\Delta SAB\) đều).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),\,\,SH \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có \(AH \cap \left( {SBC} \right) = B \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{AB}}{{HB}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)\).
Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,BM\). Trong \(\left( {SHN} \right)\) kẻ \(HK \bot SN\,\,\left( {K \in SN} \right)\) ta có:
\(\Delta ABC\) có \(\left\{ \begin{array}{l}AB = BC = a\\\angle ABC = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC\) đêỳ cạnh \(a \Rightarrow AM \bot BC\).
\(HN\) là đường trung bình của tam giác \(ABM\) nên \(HN//AM \Rightarrow HN \bot BC\).
Ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot HN\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow BC \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}HK \bot BC\\HK \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right) = HK\end{array}\)
Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow HN = \dfrac{1}{2}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Vì \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) nên \(AB = a\) \( \Rightarrow \Delta SAB\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng hệ thức lượng trog tam giác vuông \(SHN\) ta có \(HK = \dfrac{{SH.HN}}{{\sqrt {S{H^2} + H{N^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} }} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\).
Vậy \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2HK = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\).
Chọn C