Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:
Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = IA = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = 3\).
Gọi \(O\) là tâm đường tròn đáy của hình nón \(\left( N \right)\).
Đặt \(IO = x\,\,\,\left( {0 < x < 3} \right)\) ta có: \(AO = IA + x = x + 3 = h\) là chiều cao của hình nón.
Khối nón có bán kính đáy \(r = \sqrt {9 - {x^2}} \).
\( \Rightarrow \) Độ dài đường sinh của hình nón là \(\,l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = \sqrt {6x + 18} \).
Khi đó ta có diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .\sqrt {9 - {x^2}} .\sqrt {6x + 18} \).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {9 - {x^2}} \right)\left( {6x + 18} \right) = - 6{x^3} - 18{x^2} + 54x + 162\) với \(x \in \left( {0;3} \right)\) ta có:
\(f'\left( x \right) = - 18{x^2} - 36x + 54 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).
Lập BBT ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - 3;3} \right)} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 192\).
\( \Rightarrow \max {S_{xq}} = 8\pi \sqrt 3 \) đạt được khi \(x = 1\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}AO = 4\\IO = 1\end{array} \right.\, \Rightarrow \overrightarrow {OI} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {IA} = \dfrac{1}{3}\left( { - 1;2; - 2} \right)\, = \left( { - \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)\, \Rightarrow O\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{{11}}{3}} \right)\)
Mặt phẳng đáy của hình nón đi qua điểm \(O\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 1;2; - 2} \right)\) nên có phương trình là:\( - x + 2y - 2z + 6 = 0\,\).
\( \Rightarrow b = 2,\,\,c = - 2,\,\,d = 6\, \Rightarrow b + c + 2d = 12\).
Chọn A
