\(\begin{array}{l}A = {11^9} + {11^8} + ... + 11 + 1\\ \Rightarrow 11A = {11^{10}} + {11^9} + {11^8} + ... + {11^2} + 11\\ \Rightarrow 11A - A = \left( {{{11}^{10}} + {{11}^9} + {{11}^8} + ... + {{11}^2} + 11} \right) - \left( {{{11}^9} + {{11}^8} + ... + 11 + 1} \right)\\ \Rightarrow 10A = {11^{10}} - 1\\ \Rightarrow A = \frac{{{{11}^{10}} - 1}}{{10}}\end{array}\)
Bài này toán lớp 6 người ta thường yêu cầu chứng minh chia hết cho 5 thôi nhé em. Chứng minh chia hết cho 60 phải dùng đến kiến thức lớp 8 em nhé.
Xét biểu thức \(M = {11^{10}} - 1\)
ÁP dụng hằng đẳng thức đáng nhớ \({a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\)
Ta có: \(M = {11^{10}} - 1 = (11 - 1)({11^9} + {11^8} + ... + {11^1} + 1) = 10B\)
Với \(B = {11^9} + {11^8} + ... + {11^1} + 1\) do đó M chia hết cho 10
\(\begin{array}{l}B = {11^9} + {11^8} + ... + {11^1} + 1 = ({11^9} + {11^8}) + ({11^7} + {11^6}) + ({11^5} + {11^4}) + ({11^3} + {11^2}) + 11 + 1\\ = ({11.11^8} + {11^8}) + ({11.11^6} + {11^6}) + ({11.11^4} + {11^4}) + ({11.11^2} + {11^2}) + 11 + 1\\ = {12.11^8} + {12.11^6} + {12.11^4} + {12.11^2} + 12\\ = 12({11^8} + {11^6} + {11^4} + {11^2} + 1)\end{array}\)Chia hết cho 12.
Vậy \(M = {11^{10}} - 1\) vừa chia hết cho 10, vừa chia hết cho 12 nên sẽ chia hết cho BCNN(10,12)=60.
Suy ra: \(M = \frac{{{{11}^{10}} - 1}}{{10}}\) chia hết cho 6.
Mặt khác \({11^{10}} - 1\) có tận cùng bằng 0 nên \(\frac{{{{11}^{10}} - 1}}{{10}}\) cũng có tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10.
Suy ra: A chi hết cho 60.
Em tự làm câu 2 nhé.
