Phương trình đã cho được viết thành \(2x^2-11x+21=3(\sqrt[3]{4x-4}-2)+6\) \(\Leftrightarrow 2x^2-11x+15=3(\sqrt[3]{4x-4}-2)\Leftrightarrow (x-3)(2x-5)\)\(\Leftrightarrow 2x^2-11x+15=3(\sqrt[3]{4x-4}-2)\) \(\Leftrightarrow (x-3)(2x-5)=\frac{12(x-3)}{\sqrt[3]{(4x-4)^2}+2\sqrt[3]{4x-4}+4}\) Suy ra x = 3 là một nghiệm của phương trình Xét phương trình \(2x-5=\frac{12}{\sqrt[3]{(4x-4)^2}+2\sqrt[3]{4x-4}+4}\) (*) Tam thức \(2x^2-11x+21\) có \(\Delta 11^2-8.21=-47<0\) nên \(2x^2-11x+21>0\forall x\in R\) Suy ra \(4x-4> 0\Leftrightarrow x> 1\) Đặt \(t=\sqrt[3]{(4x-4)^2}, t> 3; f(t)=\frac{12}{t^2+2t+4}\)
Ta có \(f'(t)=\frac{-12(2t+2)}{(t^+2t+4)^2}< 0\) với t > 0. Suy ra f(t) nghịch biế trê khoảng \((0;+\infty )\) do đó hàm số. \(G(x)=\frac{12}{\sqrt[3]{(4x-4)^2+2\sqrt[3]{4x-4}+4}}\) nghịch biến trên khoảng \((1;+\infty )\) Hàm số y = 2x – 5 đồng biến trên \((1;+\infty )\) Từ đó suy ra phương trình (*) có không quá một nghiệm trên khoảng \((1;+\infty )\) + Mặt khác G(3) = y (3) Vậy phương trình (*) có duy hất một nghiệm x = 3 trên khoảng \((1;+\infty )\)
Tóm lại phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3 + Cách khác: Từ \(2x^2-11x+21>0\) suy ra \(4x-4>0\) Ta có \(2x^2-11x+21=2(x-3)^2+x+3\geq x+3, \forall x\in R\) \((4x-4)+8+8\geq 3\sqrt[3]{(4x-4).8.8}=12\sqrt[3]{(4x-4)}\Leftrightarrow x+3\geq 3\sqrt[3]{4x-4}\) Suy ra \(2x^2-11x+21\geq 3\sqrt[3]{4x-4}\) đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} x-3=0\\ 4x-4=8 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=3\) Vậy nghiệm của phương trình là x = 3.
