a. Xét \(\Delta MHA\) và \(\Delta MHB\) có:
HA = HB
(H thuôc trung trực của AB)
\(\widehat {MHA} = \widehat {MHB}{\rm{ }}\left( { = {\rm{ }}{{90}^0}} \right)\)
MH cạnh chung.
Nên \(\Delta MHA = \Delta MHB\) (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {AMH} = \widehat {BMH} \).
Vậy MH là phân giác của \(\widehat {AMB}\)
b. Trên cạnh MB la lây E’ sao cho MF = MF’
Xét \(\Delta FMP\) và \(\Delta E’MP\), có:
MF = ME’ (cách lấy điểm E’)
\(\widehat {FMP} = \widehat {E'MP}\) (do \(\widehat {AMH} = \widehat {BMH}\))
MP cạnh chung
nên \(\Delta FMP = \Delta E'PM\) (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {FMP} = \widehat {E'MP}\) (1)
Gọi giao điểm của FE’ với MH là K.
Ta lại có \(\Delta PHA = \Delta PHB\) (c.g.c) (chứng minh tương tự như câu a)
Suy ra \(\widehat {APH} = \widehat {BPH}\).
Mà \(\widehat {APH} = \widehat {EPM}\) (đối đỉnh) và \(\widehat {BPH} = \widehat {FPM}\) (đối đỉnh)
Suy ra \(\widehat {FPM} = \widehat {EPM}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {EPM} = \widehat {E'PM}\)
Hay E’ trùng với E.
Do đó MF = ME (3)
Lại có PF = PE’ (do A FMP = A E’MP). nên PF = PE (4) (do E’ trùng với E)
Từ (3) và (4) ta suy ra MP hay MH là trung trực của đoạn EF.
c. Ta có:
AF = AM - FM
BE = BM - EM
mà AM = BM (M thuộc trung trực AB)
FM = EM (cmt)
Nên ta suy ra: AF = BE.
