cho a,b,c thỏa {a,b,c>01a+1b+1c=1\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\end{matrix}\right.{a,b,c>0a1+b1+c1=1 chứng minh rằnga+bc+b+ca+c+ab≥abc+a+b+c\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}a+bc+b+ca+c+ab≥abc+a+b+c
1a+1b+1c=1⇔ab+bc+ca=abc\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abca1+b1+c1=1⇔ab+bc+ca=abc
Ta có: a+bc=a2+abca=(a+b)(a+c)a\sqrt{a+bc}=\sqrt{\dfrac{a^2+abc}{a}}=\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a}}a+bc=aa2+abc=a(a+b)(a+c)
thiết lập tương tự ,bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
⇔∑(a+b)(a+c)a≥abc+a+b+c\Leftrightarrow\sum\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a}}\ge\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}⇔∑a(a+b)(a+c)≥abc+a+b+c
⇔∑bc(a+b)(a+c)≥abc+abc(a+b+c)\Leftrightarrow\sum\sqrt{bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge abc+\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)⇔∑bc(a+b)(a+c)≥abc+abc(a+b+c)
⇔∑(b2+ab)(c2+ac)≥abc+∑abc\Leftrightarrow\sum\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge abc+\sum a\sqrt{bc}⇔∑(b2+ab)(c2+ac)≥abc+∑abc
Điều này luôn đúng theo BĐT Bunyakovsky:
∑(b2+ab)(c2+ac)≥∑(bc+abc)=abc+∑abc\sum\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge\sum\left(bc+a\sqrt{bc}\right)=abc+\sum a\sqrt{bc}∑(b2+ab)(c2+ac)≥∑(bc+abc)=abc+∑abc
Dấu = xảy ra khi a=b=c=3
Cho a,b,c là số dương thỏa mãn a2+b2+c2=1a^2+b^2+c^2=1a2+b2+c2=1 . Tìm GTLN của
A=(1+2a)(1+2bc)\left(1+2a\right)\left(1+2bc\right)(1+2a)(1+2bc)
Tìm GTNN của bt
a/ h(x)=x+3xh\left(x\right)=x+\dfrac{3}{x}h(x)=x+x3 với x≥2x\ge2x≥2
b/ k(x)=2x+1x2k\left(x\right)=2x+\dfrac{1}{x^2}k(x)=2x+x21 với 0<x≤120< x\le\dfrac{1}{2}0<x≤21
Tìm x, biết:
a) 2x - [x - (- 3/4 - 4)]=13/16
b) |x-7|=x-7
c) |x-9|=9-x
Tìm GTNN của biểu thức
a/ f(x)=(x−1)2x−2f\left(x\right)=\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x-2}f(x)=x−2(x−1)2 với x>2
b/ g(x)=2x+1(x+1)2g\left(x\right)=2x+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}g(x)=2x+(x+1)21 với x>-1
Chứng minh 1,x4+5>x2+4xx^4+5>x^2+4xx4+5>x2+4x
2, Nếu a≥4,b≥5,c≥6,a2+b2+c2=90⇒a+b+c≥16a\ge4,b\ge5,c\ge6,a^2+b^2+c^2=90\Rightarrow a+b+c\ge16a≥4,b≥5,c≥6,a2+b2+c2=90⇒a+b+c≥16
Câu 1. Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
a. x2+x+4+x2+x+1=2x2+2x+9\sqrt{x^2+x+4}+\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{2x^2+2x+9}x2+x+4+x2+x+1=2x2+2x+9
b. {x2−xy−2=0x2+y2+2x+2y−2=0\left\{{}\begin{matrix}x^2-xy-2=0\\x^2+y^2+2x+2y-2=0\end{matrix}\right.{x2−xy−2=0x2+y2+2x+2y−2=0 (x,y ∈R\in R∈R)
1Cho tam giác ABC và điểm M thõa mãn MB→+MC→=AB→\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}MB+MC=AB
TÌM VỊ TRÍ CỦA M
2 Cho tam giác ABC . Tập hợp điểm M thõa màn
a. ∣MB→−MC→∣=∣BM→−BA→∣\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}\right|∣∣∣MB−MC∣∣∣=∣∣∣BM−BA∣∣∣
B, VÉC TƠ MA+MB-MC=MD
Bài 7: Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 1. Chứng minh a + 2 b + c ≥ 4(1 – a)(1 – b)(1 – c)
Cho a,b,c là số dương thỏa mãn abc=1
CMR 1a2+1b2+1c2+3≥2(a+b+c)\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+3\ge2\left(a+b+c\right)a21+b21+c21+3≥2(a+b+c)
cho hàm số y = ax (khác 0 )
a/ tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A (-3;2)
b/ viết tọa độ điểm B thuộc đồ thị hàm số trên biết hoành độ của nó bằng -4
