Cho \(a,b,c\ge 0,a+b+c=1.\) Thì\(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}=\frac{1}{4}\) khi A.\(a=b=c=\frac{1}{3}\) B.\(a=b=\frac{1}{2},c=0\) C.\(a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{3},c=\frac{1}{6}\) D.\(a=0,b=c=\frac{1}{2}\)

nguyenptn1104

2 năm trước

Cho \(a,b,c\ge 0,a+b+c=1.\) Thì\(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}=\frac{1}{4}\) khi

A.\(a=b=c=\frac{1}{3}\)
B.\(a=b=\frac{1}{2},c=0\)
C.\(a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{3},c=\frac{1}{6}\)
D.\(a=0,b=c=\frac{1}{2}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 24 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

nguyenptn1104

Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:Ta viết lại

\(\begin{array}{l}\frac{1}{4} = \frac{{ab}}{{c + 1}} + \frac{{bc}}{{a + 1}} + \frac{{ca}}{{b + 1}} = \frac{{ab}}{{c + \left( {a + b + c} \right)}} + \frac{{bc}}{{a + \left( {a + b + c} \right)}} + \frac{{ca}}{{b + \left( {a + b + c} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{ab}}{{\left( {a + c} \right) + \left( {b + c} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {b + a} \right) + \left( {c + a} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {c + b} \right) + \left( {a + b} \right)}}.\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}} \Rightarrow \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{1}{{x + y}}\) với \(x = \left( {a + c} \right),y = \left( {b + c} \right)\) ta nhận được
\(\frac{1}{{\left( {a + c} \right) + \left( {b + c} \right)}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}} \right) \Rightarrow \frac{{ab}}{{\left( {a + c} \right) + \left( {b + c} \right)}} \le \frac{{ab}}{4}\left( {\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}} \right)\,\,\left( 1 \right).\)
Tương tự ta có
\(\frac{{bc}}{{\left( {b + a} \right) + \left( {c + a} \right)}} \le \frac{{bc}}{4}\left( {\frac{1}{{b + a}} + \frac{1}{{c + a}}} \right)\,\,\left( 2 \right)\)
\(\frac{{ca}}{{\left( {c + b} \right) + \left( {a + b} \right)}} \le \frac{{ca}}{4}\left( {\frac{1}{{c + b}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)\,\,\left( 3 \right).\)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta nhận được
\(\begin{array}{l}\frac{1}{4} = \frac{{ab}}{{\left( {a + c} \right) + \left( {b + c} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {b + a} \right) + \left( {c + a} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {c + b} \right) + \left( {a + b} \right)}}\\\,\,\,\, \le \frac{{ab}}{4}\left( {\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}} \right) + \frac{{bc}}{4}\left( {\frac{1}{{b + a}} + \frac{1}{{c + a}}} \right) + \frac{{ca}}{4}\left( {\frac{1}{{c + b}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)\\\,\,\,\, = \frac{{ab + bc}}{{4\left( {a + c} \right)}} + \frac{{ab + ca}}{{4\left( {c + b} \right)}} + \frac{{bc + ca}}{{4\left( {a + b} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{b\left( {a + c} \right)}}{{4\left( {a + c} \right)}} + \frac{{a\left( {c + b} \right)}}{{4\left( {c + b} \right)}} + \frac{{c\left( {a + b} \right)}}{{4\left( {a + b} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{1}{4}\left( {a + b + c} \right) = \frac{1}{4}.\end{array}\)

Dấu bằng đạt được khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}a + c = b + c\\b + a = c + a\\c + b = a + b\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}.\)
Chọn đáp án A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho \(x,y,z>0\) thỏa mãn \(x+2y+3z=6.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(A=\frac{2y+3z+5}{1+x}+\frac{3z+x+5}{1+2y}+\frac{x+2y+5}{1+3z}\) là:

A.6
B.9
C.12
D.15

Cho \(a,b,c\) là độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\) , gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác đó. Giả sử rằng

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}=2\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right).\) Khi đó kết luận nào sau đây là đúng

A.\(\Delta ABC\) đều
B.\(\Delta ABC\) vuông
C.\(\Delta ABC\) cân
D.\(\Delta ABC\) vuông cân

Tập xác định của hàm số \(y={{\left( x-1 \right)}^{\frac{1}{3}}}\) là:

A. \(\left( 0;+\infty \right).\)
B. \(\left[ 1;+\infty \right).\)
C.\(\left( 1;+\infty \right).\)
D.\(\mathbb{R}.\)

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực \(\mathbb{R}?\)

A. \(y={{\left( \frac{\pi }{3} \right)}^{x}}.\)
B. \(y={{\log }_{\frac{1}{2}}}x.\)
C.\(y={{\log }_{\frac{\pi }{4}}}\left( 2{{x}^{2}}+1 \right).\)
D.\(y={{\left( \frac{2}{e} \right)}^{x}}.\)

Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ T. Biết rằng vật thực hiện 12 dao động hết 6 (s). Tốc độcủa vật khi qua vị trí cân bằng là 8π (cm/s). Quãng đường lớn nhất vật đi được trong khoảng thời gian bằng 2/3 chu kỳT là

A.8 cm.
B.9 cm.
C. 6 cm.
D.12 cm.

Một con chất điểm dao động điều hòa với biên độ 6 cm và chu kì 1s. Tại t = 0, vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm của trục toạ độ. Tổng quãng đường đi được của vật trong khoảng thời gian t = 2,375 (s) kể từ thời điểm bắt đầu dao động là

A.S = 48 cm.
B.S = 50 cm.
C.S = 55,76 cm.
D.S = 42 cm.

Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 10cos(πt + π/3) cm. Khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu dao động (t = 0) đến khi vật đi được quãng đường 50 cm là

A.t = 7/3 (s).
B.t = 2,4 (s).
C.t = 4/3 (s).
D.t = 1,5 (s).

Biết rằng hệ số của \({{x}^{4}}\) trong khai triển nhị thức Newton \({{\left( 2-x \right)}^{n}},\,\,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)\) bằng \(60.\) Tìm \(n.\)

A.\(n=5.\)
B.\(n=6.\)
C. \(n=7.\)
D.  \(n=8.\)

Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 6cos(4πt + π/3) cm. Quãng đường vật đi được kể từ khi bắt đầu dao động (t = 0) đến thời điểm t = 0,5 (s) là

A.S =12 cm.
B.S = 24 cm.
C.S = 18 cm.
D.S = 9 cm.

Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng \(\sqrt{6}\) và chiều cao \(h=1.\) Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó là.

A.\(S=9\pi .\)
B. \(S=6\pi .\)
C. \(S=5\pi .\)
D.\(S=27\pi .\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến