Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

- Sử dụng: Vì \(I\) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{x}{{x - 1}}\) \( \Rightarrow IA = IB\).
- Chứng minh \({S_{\Delta MAB}} = 2{S_{\Delta MAI}}\).
- Kẻ \(AH \bot MI\,\,\left( {H \in MI} \right)\) ta có \({S_{\Delta MAI}} = \dfrac{1}{2}AH.MI\), chứng minh để \({S_{\Delta MAB}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \({S_{\Delta MAI}}\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Rightarrow AH\) đạt giá trị nhỏ nhất.
- Viết phương trình đường thẳng \(MI\), tính \(AH = d\left( {A;MI} \right)\), sử dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN.
- Suy ra tọa độ điểm \(A,\) tính \(IA\) và suy ra \(AB\).Giải chi tiết:
Dễ thấy \(I\) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{x}{{x - 1}}\) (giao điểm 2 đường tiệm cận).
Vì \(d\) đi qua \(I\) và cắt đồ thị \(y = \dfrac{x}{{x - 1}}\) tại 2 điểm phân biệt \(A,\,\,B\) nên \(IA = IB = \dfrac{1}{2}AB\).
Ta có: \(\dfrac{{{S_{\Delta MAI}}}}{{{S_{\Delta MAB}}}} = \dfrac{{MI}}{{MB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {S_{\Delta MAB}} = 2{S_{\Delta MAI}}\).
Kẻ \(AH \bot MI\,\,\left( {H \in MI} \right)\) ta có \({S_{\Delta MAI}} = \dfrac{1}{2}AH.MI\) với \(MI = \sqrt {{{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 3} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \)
\( \Rightarrow {S_{\Delta MAI}} = \dfrac{1}{2}AH.\sqrt 5  = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}AH\).
Để \({S_{\Delta MAB}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \({S_{\Delta MAI}}\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Rightarrow AH\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương trình đường thẳng \(MI\) là \(\dfrac{{x - 1}}{{0 - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{3 - 1}} \Leftrightarrow 2\left( {x - 1} \right) =  - \left( {y - 1} \right) \Leftrightarrow 2x + y - 3 = 0\).
Gọi \(A\left( {{x_0};\dfrac{{{x_0}}}{{{x_0} - 1}}} \right) \in \left( C \right)\) ta có \(AH = d\left( {A;MI} \right) = \dfrac{{\left| {2{x_0} + \dfrac{{{x_0}}}{{{x_0} - 1}} - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{\left| {2{x_0} + \dfrac{1}{{{x_0} - 1}} - 2} \right|}}{{\sqrt 5 }}\).
Giả sử \(A\) là điểm nằm bên phải đường thẳng \(x > 1 \Rightarrow {x_0} > 1\).
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(2{x_0} + \dfrac{1}{{{x_0} - 1}} - 2 = 2\left( {{x_0} - 1} \right) + \dfrac{1}{{{x_0} - 1}} \ge 2\sqrt 2 \) \( \Rightarrow A{H_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2\sqrt {10} }}{5}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2\left( {{x_0} - 1} \right) = \dfrac{1}{{{x_0} - 1}} \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {x_0} - 1 = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow {x_0} = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Khi đó \(A\left( {1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }};1 + \sqrt 2 } \right)\) \( \Rightarrow IA = \sqrt {{{\left( {1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + \sqrt 2  - 1} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\) \( \Rightarrow AB = 2IA = \sqrt {10} \).
Vậy để \({S_{\Delta MAB}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(AB = \sqrt {10} \).
Chọn A.