Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}g\left( x \right) = {x^2}{\left[ {f\left( {x - 1} \right)} \right]^4}\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = 2x{\left[ {f\left( {x - 1} \right)} \right]^4} + 4{x^2}f'\left( {x - 1} \right){\left[ {f\left( {x - 1} \right)} \right]^3}\\\,\,\,\,\,\,g'\left( x \right) = 2x{\left[ {f\left( {x - 1} \right)} \right]^3}\left[ {f\left( {x - 1} \right) + 2xf'\left( {x - 1} \right)} \right] = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f\left( {x - 1} \right) = 0\\f\left( {x - 1} \right) + 2xf'\left( {x - 1} \right) = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Đặt \(t = x - 1 \Rightarrow x = t + 1\).
+ Xét phương trình \(f\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = 0\).
Dựa vào BBT ta thấy phương trình \(f\left( t \right) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt khác \(1\) nên phương trình \(f\left( {x - 1} \right) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt khác \(0\).
+ Xét phương trình \(f\left( {x - 1} \right) + 2xf'\left( {x - 1} \right) = 0\) \( \Rightarrow f\left( t \right) + 2\left( {t + 1} \right)f'\left( t \right) = 0\,\,\,\left( * \right)\).
Dựa và BBT ta thấy, \(f\left( x \right)\) là hàm bậc bốn trùng phương, đặt \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\,\,\left( {a
e 0} \right)\).
Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm \(\left( { - 1;3} \right),\,\left( {0; - 1} \right),\,\,\left( {1;3} \right)\) và có ba điểm cực trị \(x = 0,\,\,x = \pm 1\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}c = - 1\\a + b + c = 3\\f'\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 1\\a + b + c = 3\\4a + 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = 8\\c = - 1\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow f\left( x \right) = - 4{x^4} + 8{x^2} - 1\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = - 16{x^3} + 16x\).
Thay vào (*) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\, - 4{t^4} + 8{t^2} - 1 + 2\left( {t + 1} \right)\left( { - 16{t^3} + 16t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 4{t^4} + 8{t^2} - 1 - 32{t^4} + 32{t^2} - 32{t^3} + 32t = 0\\ \Leftrightarrow - 36{t^4} - 32{t^3} + 40{t^2} + 32t - 1 = 0\end{array}\)
Xét hàm số \(h\left( t \right) = - 36{t^4} - 32{t^3} + 40{t^2} + 32t - 1\) ta có: \(h'\left( t \right) = - 144{t^3} - 96{t^2} + 80t + 32\).
Ta có: \(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{2}{3}\\t = \dfrac{{ - 1}}{3}\\t = - 1\end{array} \right.\).
Ta có BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình \(h\left( t \right) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt khác 1 \( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( {x - 1} \right) - 2xf'\left( {x - 1} \right) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt khác 0.
Do đó, phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có tất cả 9 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số \(g\left( x \right) = {x^2}{\left[ {f\left( {x - 1} \right)} \right]^4}\) có tất cả 9 điểm cực trị.
Chọn D.
