Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Đặt \(t = f\left( x \right)\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( t \right) \ge x\\f\left( x \right) = t\end{array} \right.\, \Rightarrow f\left( t \right) - f\left( x \right) \ge x - t\, \Rightarrow f\left( t \right) + t \ge f\left( x \right) + x\).Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + x\) ta có \(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) + 1 = 3{x^2} + 2 + 1 > 0\,\,\forall x - \mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).Do đó \(f\left( t \right) + t \ge f\left( x \right) + x \Leftrightarrow t \ge x\).\( \Rightarrow f\left( x \right) = t \ge x \Leftrightarrow {x^3} + x \ge {5^m}\) đúng với mọi \(x \in \left( {2;6} \right)\) (*)Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} + x\) với \(x \in \left( {2;6} \right)\) ta có \(g'\left( x \right) = 3{x^2} + 1 > 0\,\,\forall x\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {2;6} \right)\).Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;6} \right]} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = 10\).\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {5^m} \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;6} \right]} g\left( x \right) = 10 \Leftrightarrow m \le {\log _5}10\).Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}\).Vậy có 8 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.Chọn D
