Cho hàm số \(y=-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\). song song với đường thẳng \(y=x\) ? A.2 B.3 C.1 D.4
Đáp án đúng: C Giải chi tiết:Ta có \({y}'=-3{{x}^{2}}+4x\) Gọi \({{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\). là tiếp điểm. Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\). song song với đường thẳng \(y=x\) nên tiếp tuyến có hệ số góc \(y'\left( {{x_0}} \right) = 1 \Leftrightarrow - 3x_0^2 + 4{x_0} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = \frac{1}{3}\end{array} \right.\) +) Với \({{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=1\Rightarrow \) tiếp tuyến là : \(y-1=1\left( x-1 \right)\Rightarrow y=x\) (loại) +) Với \({{x}_{0}}=\frac{1}{3}\Rightarrow {{y}_{0}}=\frac{5}{27}\Rightarrow \) tiếp tuyến là : \(y=x-\frac{4}{27}\) Vậy có \(1\)tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán. Chọn C.