Đặt biểu thức của hàm \(f\) là \(u.\) Vẽ bảng biến thiên của \(f\left( u \right)\) và rút ra nhận xét: ứng với mỗi giá trị của \(u\) trên từng khoảng xác định ta được số giá trị \(x\) tương ứng. Từ đó suy ra khoảng giá trị của \(m\) và kết hợp với điều kiện \(m\) là số nguyên để kết luận số giá trị của \(m.\)Giải chi tiết:Đặt \(u = 2{x^3} - 6x + 2\,\,(1) \Rightarrow u' = 6{x^2} - 6 \Rightarrow u' = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\) Bảng biến thiên:
Với mỗi giá trị \(u \in \left( { - 2;6} \right]\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \(x \in \left[ { - 1;2} \right].\) Với mỗi giá trị \(u = - 2\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có một nghiệm \(x \in \left[ { - 1;2} \right].\) Với mỗi giá trị \(u \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right)\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) không có nghiệm \(x \in \left[ { - 1;2} \right].\) Phương trình \(f\left( {2{x^3} - 6x + 2} \right) = 2m - 1\) có \(6\) nghiệm phân biệt \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\) khi phương trình \(f\left( u \right) = 2m - 1\) có \(3\) nghiệm phân biệt \(u \in \left( { - 2;6} \right].\) Suy ra \(0 < 2m - 1 < 2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < m < \dfrac{3}{2}\) mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 1\) Vậy \(m = 1\) là giá trị thỏa mãn bài toán. Chọn D
