Biết \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{1 + \tan x}}dx = a.\pi  + b\ln 2} \)  với \(a;\,\,b\) là các số hữu tỉ. Tính tỷ số \(\dfrac{a}{b}\).
A.\(\dfrac{1}{2}\)
B.\(\dfrac{1}{6}\)
C.\(\dfrac{1}{4}\)
D.\(\dfrac{1}{3}\)

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = a;\)\(AC = BC = AD = BD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(M,\,\,N\) là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right);\,\,\left( {ABC} \right)\) là \(\alpha \) . Tính \({\rm{cos}}\alpha \) biết mặt cầu đường kính \(MN\) tiếp xúc với cạnh \(AD\).
A.\(2 - \sqrt 3 \)
B.\(2\sqrt 3  - 3\)
C.\(3 - 2\sqrt 3 \)
D.\(\sqrt 2  - 1\)

Cho hai điểm \(A\left( {2;1; - 1} \right);\)\(B\left( {0;3;1} \right)\). Biết tập hợp các điểm \(M \in mp\left( \alpha  \right):\,\,\,x + y + z + 3 = 0\) thỏa mãn \(2.M{A^2} - M{B^2} = 4\) là đường tròn có bán kính  \(r\). Tính \(r\).
A.\(r = 2\sqrt 7 \)
B.\(r = 6\)
C.\(r = 2\sqrt 6 \)
D.\(r = 5\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^7} + {x^5} - {x^4} + {x^3} - 2{x^2} + 2x - 10\) và \(g\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2\). Đặt \(F\left( x \right) = g\left[ {f\left( x \right)} \right]\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(F\left( x \right) = m\) có ba nghiệm thực  phân biệt
A.\(m \in \left( { - 1;3} \right)\)
B.\(m \in \left( {0;4} \right)\)
C.\(m \in \left( {3;6} \right)\)
D.\(m \in \left( {1;3} \right)\)

Cho hai điểm \(M\left( {3;1;1} \right);\)\(N\left( {4;3;4} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\dfrac{{x - 7}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 9}}{1}\). Biết điểm \(I\left( {a;b;c} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\) sao cho \(IM + IN\) đạt giá trị nhỏ nhất . Tính \(S = 2a + b + 3c\).
A.\(36\)
B.\(38\)
C.\(42\)  
D.\(40\)

Cho \(a\) là hằng số dương khác \(1\) thỏa mãn \({a^{2\cos 2x}} \ge 4{\cos ^2}x - 1;\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của \(a\) thuộc khoảng nào sau đây?
A.\(\left( {4; + \infty } \right)\)
B.\(\left( {2;3} \right)\)
C.\(\left( {0;2} \right)\)
D.\(\left( {3;5} \right)\)

Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh là \(a;\,\,b;\,\,c\). Gọi \(p\) là nửa chu vi của tam giác. Biết dãy số \(a;\,\,b;\,\,c;\,\,p\) theo thứ tự  lập thành một cấp số cộng. Tìm cosin của góc nhỏ nhất trong tam giác đó.
A.\(\dfrac{4}{5}\)
B.\(\dfrac{3}{4}\)
C.\(\dfrac{5}{6}\)
D.\(\dfrac{3}{5}\)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số sau đồng biến trên tập số thực \(y = \left( {4 - {m^2}} \right){x^3} + \left( {2 - m} \right){x^2} + 7x - 9\)
A.\(3\)
B.\(2\)
C.\(4\)
D.\(1\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đồ thị như hình vẽ .
Tìm số điểm cực trị của hàm số \(F\left( x \right) = 3{f^4}\left( x \right) + 2{f^2}\left( x \right) + 5\).
A.\(6\)
B.\(3\)
C.\(5\)  
D.\(7\)

Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 4,\)\(y =  - 2,\)\(x = 0,\)\(x = 1\) quanh trục \(Ox\).
A.\(20\pi \)
B.\(36\pi \)
C.\(12\pi \)
D.\(16\pi \)