Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
- Đặt \(w = \left( {z + 2i} \right)\left( {\overline z - 2} \right)\), nhân số phức, sử dụng công thức \(z.\overline z = {\left| z \right|^2}\).- Đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\) \( \Rightarrow \overline z = x - yi\), thay vào phương trình và giải hệ tìm \(x,\,\,y\)- Rút \(x\) theo \(y\) hoặc ngược lại, thế vào \(\left| z \right| = 2\) giải phương trình tìm \(x\) hoặc \(y\).Giải chi tiết:Đặt\(\begin{array}{l}w = \left( {z + 2i} \right)\left( {\overline z - 2} \right)\\\,\,\,\,\, = z.\overline z - 2z + 2i\overline z - 4i\\\,\,\,\,\, = {\left| z \right|^2} - 2z + 2i\overline z - 4i\\\,\,\,\,\, = 2 - 2z + 2i\overline z - 4i\end{array}\)Đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\) \( \Rightarrow \overline z = x - yi\), khi đó ta có:\(\begin{array}{l}w = 2 - 2z + 2i\overline z - 4i\\\,\,\,\,\, = 2 - 2\left( {x + yi} \right) + 2i\left( {x - yi} \right) - 4i\\\,\,\,\,\, = 2 - 2x - 2yi + 2xi + 2y - 4i\\\,\,\,\,\, = \left( {2 - 2x + 2y} \right) + \left( {2x - 2y - 4} \right)i\end{array}\)Vì \(w\) là số thuần ào nên \(2 - 2x + 2y = 0 \Leftrightarrow x = y + 1\).Lại có \(\left| z \right| = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4\) \( \Rightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} + {y^2} = 4 \Leftrightarrow 2{y^2} + 2y - 3 = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt 7 }}{2}\).Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.Chọn C
