Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hình học.Giải chi tiết:Ta có: \(\left| {\sqrt 5 z - {z_1}} \right| + \left| {\sqrt 5 z - {z_2}} \right| = \sqrt 5 \left[ {\left| {z - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}{z_1}} \right| + \left| {z - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}{z_2}} \right|} \right]\)
Gọi \(M,\,\,{M_1},\,\,{M_2}\) lần lượt là điểm biểu diễn số phức \(z,\,\,\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}{z_1},\,\,\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}{z_2}\).
\(\left| {z - i} \right| = \left| {z + 1} \right| \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) là trung trực của \(AB\), với \(A\left( {0;1} \right),\,\,B\left( { - 1;0} \right)\). (đường thẳng \(d\)).
\(\left| {{z_1} - 3\sqrt 5 } \right| = \sqrt 5  \Rightarrow \left| {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}{z_1} - 3} \right| = 1\) \( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \({M_1}\) là đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tâm \({I_1}\left( {3;0} \right)\), bán kính \({R_1} = 1\).
\(\left| {{z_2} - 4\sqrt 5 i} \right| = 2\sqrt 5  \Rightarrow \left| {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}{z_2} - 4} \right| = 2\) \( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \({M_2}\) là đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) tâm \({I_2}\left( {0;4} \right)\), bán kính \({R_2} = 2\).

Ta có: \(\left| {\sqrt 5 z - {z_1}} \right| + \left| {\sqrt 5 z - {z_2}} \right| = \sqrt 5 \left( {M{M_1} + M{M_2}} \right)\).
Gọi \(\left( {{C_1}'} \right)\) đối xứng với \(\left( C \right)\) qua \(d\) \( \Rightarrow \left( {{C_1}'} \right)\) có tâm \({I_1}'\left( {0; - 3} \right)\), bán kính \({R_1} = 1\).
\( \Rightarrow M{M_1} = M{M_1}'\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {\sqrt 5 z - {z_1}} \right| + \left| {\sqrt 5 z - {z_2}} \right| = \sqrt 5 \left( {M{M_1} + M{M_2}} \right) = \sqrt 5 \left( {M{M_1}' + M{M_2}} \right) \ge {M_1}'{M_2}\\ \Rightarrow \left| {\sqrt 5 z - {z_1}} \right| + \left| {\sqrt 5 z - {z_2}} \right| \ge \sqrt 5 \left( {I'J - {R_1} - {R_2}} \right) = \sqrt 5 \left( {7 - 1 - 2} \right) = 4\sqrt 5 \end{array}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\sqrt 5 z - {z_1}} \right| + \left| {\sqrt 5 z - {z_2}} \right|\) bằng \(4\sqrt 5 \).
Chọn A.