Lời giải:

\(\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=2(1)\\ y+\frac{1}{z}=2(2)\\ z+\frac{1}{x}=2(3)\end{matrix}\right.\)

Lấy \((1)-(2); (2)-(3); (3)-(1)\) ta thu được:

\(\left\{\begin{matrix} x-y+\frac{z-y}{yz}=0\\ y-z+\frac{x-z}{xz}=0\\ z-x+\frac{y-x}{xy}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=\frac{y-z}{yz}\\ y-z=\frac{z-x}{xz}\\ z-x=\frac{x-y}{xy}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{(xyz)^2}\)

\(\Leftrightarrow (x-y)(y-z)(z-x)(1-\frac{1}{xyz})(1+\frac{1}{xyz})=0\)

TH1: \(x-y=0\Leftrightarrow x=y\Rightarrow x+\frac{1}{x}=2\)

\(\Rightarrow x^2-2x+1=0\Leftrightarrow (x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1\rightarrow y=1\)

Thay vào PT\((2)\Rightarrow 1+\frac{1}{z}=2\rightarrow z=1\)

Ta thu được \((x,y,z)=(1,1,1)\)

TH2: \(y-z=0; z-x=0\) hoàn toàn giống TH1 ta cũng có \((x,y,z)=(1,1,1)\)

TH3: \(1-\frac{1}{xyz}=1\Rightarrow xyz=1\)

Thay vào PT(1) và (2)

\(\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=2\\ y+xy=2\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy+1=2y\\ xy=2-y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 2-y+1=2y\Leftrightarrow y=1\Rightarrow x=z=1\)

TH4: \(1+\frac{1}{xyz}=0\Leftrightarrow xyz=-1\)

Thay vào PT (1) và (2):

\(\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=2\\ y-xy=2\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy+1=2y\\ xy=y-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y-2+1=2y\Leftrightarrow y=-1\)

\(\Rightarrow x+\frac{1}{-1}=2\Rightarrow x=3; -1+\frac{1}{z}=2\Rightarrow z=\frac{1}{3}\)

Thử vào PT(3) thấy không đúng (loại)

Vậy \((x,y,z)=(1,1,1)\)