Đáp án:
$m\left( x \right) = \frac{4}{3}x + \frac{{23}}{3}.$
Giải thích các bước giải:
Theo đề bài ta có: \(f\left( x \right)\) chia cho \(x - 1\) dư \(9\) nên ta có: \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\left( {x - 1} \right) + 9\)
\(f\left( x \right)\) chia cho \(x + 2\) dư \(5\) nên ta có: \(f\left( x \right) = h\left( x \right)\left( {x - 1} \right) + 5\)
Với \(g\left( x \right),\,\,h\left( x \right)\) là các đa thức.
Vì \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\) là đa thức bậc hai nên số dư của phép chia \(f\left( x \right)\) cho \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\) là đa thức bậc nhất hoặc đa thức bậc 0.
Ta có: \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right).t\left( x \right) + ax + b\) với \(t\left( x \right)\) là một đa thức.
\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)t\left( x \right) + a\left( {x - 1} \right) + b + a\)
Vì \(f\left( x \right)\) chia cho \(x - 1\) dư \(9\) nên \(b + a = 9\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Tương tự ta có:
Ta có: \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right).t\left( x \right) + ax + b\)
\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)t\left( x \right) + a\left( {x + 2} \right) + b - 2a\)
Vì \(f\left( x \right)\) chia cho \(x + 2\) dư \(5\) nên \(b - 2a = 5\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}b + a = 9\\b - 2a = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{4}{3}\\b = \frac{{23}}{3}\end{array} \right.\)
Vậy phần dư của phép chia \(f\left( x \right)\) cho đa thức \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\) là \(m\left( x \right) = \frac{4}{3}x + \frac{{23}}{3}.\)
