`a)` $DE$ là tiếp tuyến chung ngoài của `(O);(O')``\quad (D\in (O);E\in (O')`) (gt)
`=>\hat{ODE}=\hat{O'ED}=90°`
Ta có:
`\qquad \hat{ODE}+\hat{O'ED}+\hat{DO O'}+\hat{O O'E}=360°`
`=>90°+90°+\hat{DO O'}+\hat{O O'E}=360°`
`=>\hat{DO O'}+\hat{O O'E}=180°` $(1)$
$\\$
`\qquad OD=OB`
`=>∆OBD` cân tại $O$
`=>\hat{B_1}=\hat{D_1}`
$\\$
`\hat{DO O'}` là góc ngoài $∆OBD$
`=>\hat{DO O'}=\hat{B_1}+\hat{D_1}=2\hat{B_1}`$(2)$
$\\$
`\qquad O'C=O'E`
`=>∆O'CE` cân tại $O'$
`=>\hat{C_1}=\hat{E_1}`
$\\$
`\qquad \hat{O O'E}` là góc ngoài $∆O'CE$
`=>\hat{O O'E}=\hat{E_1}+\hat{C_1}=2\hat{C_1}` $(3)$
$\\$
Từ `(1);(2);(3)=>2\hat{B_1}+2\hat{C_1}=180°`
`=>\hat{B_1}+\hat{C_1}=90°`
`=>\hat{BMC}=180°-(\hat{B_1}+\hat{C_1})=180°-90°=90°`
`=>\hat{DME}=90°` (đpcm)
$\\$
`b)` Xét $∆ABD$ có:
`DO` là trung tuyến (do $O$ là trung điểm $AB$)
`DO=OA=OB=1/ 2 AB`
`=>∆ABD` vuông tại $D$ (∆ có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện là ∆ vuông)
`=>AD`$\perp MB$ tại $D$
`=>\hat{ADM}=90°`
$\\$
Tương tự ta có:
`EO'=O' A=O' C= 1/2AC`
`=>∆EAC` vuông tại $E$
`=>AE`$\perp MC$ tại $E$
`=>\hat{AEM}=90°`
Ta có:
`\hat{ADM}=\hat{AEM}=\hat{DME}=90°`
`=>ADME` là hình chữ nhật (đpcm)
$\\$
`c)` Vì `(O);(O')` tiếp xúc ngoài tại `A`
`=>A\in (O O')`
$\\$
Gọi $I$ là giao điểm hai đường chéo $AM;DE$ của hình chữ nhật $ADME$
`=>IA=ID=IM=IE`
`=>∆IAD` cân tại $I$
`=>\hat{A_2}=\hat{D_3}` $(4)$
Vì `\hat{ODE}=90°` (câu a)
`=>\hat{D_2}+\hat{D_3}=90°` $(5)$
Ta có:
`\qquad OD=OA`
`=>∆OAD` cân tại $O$
`=>\hat{D_2}=\hat{A_1}` $(6)$
$\\$
Từ `(4);(5);(6)`
`=>\hat{A_1}+\hat{A_2}=\hat{D_2}+\hat{D_3}=90°`
`=>\hat{MAB}=90°`
`=>MA`$\perp O O'$ tại $A$
`=>MA`$\perp OA$; $MA\perp O'A$
`=>MA` là tiếp tuyến chung tại $A$ của `(O);(O')` (đpcm)
$\\$
`d)` Xét $∆MAB$ vuông tại $A$ có $AD\perp MB$ (câu b)
`=>MA^2=MD.MB` (hệ thức lượng)
$\\$
Xét $∆MAC$ vuông tại $A$ có $AE\perp MC$ (câu b)
`=>MA^2=ME.MC` (hệ thức lượng)
`=>MD.MB=ME.MC` (đpcm)
