Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
- Đặt ẩn phụ \(t = {2^x}\,\,\,\left( {t > 0} \right)\), đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn \(t\).
- Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn \(t\) để phương trình ẩn \(x\) có 2 nghiệm phân biệt.
- Sử dụng dữ kiện \({x_1} + {x_2} = 3\). Áp dụng định lí Vi-ét sau đó giải phương trình tìm \(m\).
Giải chi tiết:TXĐ :\(D = \mathbb{R}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{4^x} - m{.2^{x + 1}} + 4m = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - 2m{.2^x} + 4m = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Đặt \(t = {2^x}\,\,\,\left( {t > 0} \right)\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \({t^2} - 2mt + 4m = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m > 0\\2m > 0\\4m > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < 0\end{array} \right.\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 4\,\,\,\left( * \right)\)
Gọi \({t_1},\,\,{t_2}\) là hai nghiệm dương phân biệt của phương trình (2), ta có: \({t_1} = {2^{{x_1}}},\,\,{t_2} = {2^{{x_2}}}\).
\( \Rightarrow {t_1}.{t_2} = {2^{{x_1}}}{.2^{{x_2}}} = {2^{{x_1} + {x_2}}} = {2^3} = 8\).
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \({t_1}{t_2} = 4m\) \( \Rightarrow 4m = 8 \Leftrightarrow m = 2\,\,\left( {ktm} \right).\)
Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D.
