\(C=2x^2+y^2-2x\left(y+1\right)+3\)
\(C=2x^2+y^2-2xy-2x+3\)
\(C=x^2-2xy+y^2+x^2-2x+1+2\)
\(C=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+2\)
\(C=\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+2\)
Với mọi giá trị của \(x;y\in R\) ta có:
\(\left(x-y\right)^2\ge0;\left(x-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+2\ge2\)
Hay \(C\ge2\) với mọi giá trị của \(x;y\in R\).
Để \(C=2\) thì \(\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+2=2\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2=0\\\left(x-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-y=0\\x=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=1\end{matrix}\right.\)
Vậy GTNN của biểu thức C là 2 đạt được khi và chỉ khi \(x=y=1\)
Chúc bạn học tốt!!!(Được đấy Nhung à)
