a )
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì :
\(\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(m^2-3m\right)>0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-4m^2+12m>0\)
\(\Leftrightarrow4m+4>0\)
\(\Leftrightarrow m+1>0\)
\(\Leftrightarrow m>-1\)
b )
Theo hệ thức vi-ét ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1.x_2=m^2-3m\end{matrix}\right.\)
Mà : \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2.x_1.x_2=8\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)^2-2\left(m^2-3m\right)=8\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m^2+6m=8\)
\(\Leftrightarrow2m^2-2m+4=8\)
\(\Leftrightarrow2\left(m^2-m-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)\left(m-2\right)=0\)
Tới đây dễ rồi .
Câu c :
Từ câu b ta có :
\(x_1^2+x_2^2=4m^2-8m+4-2m^2+6m\)
\(=2m^2-2m+4\)
\(=2\left(m^2-m+2\right)\)
\(=2\left[\left(m^2-m+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{7}{4}\right]\)
\(=2\left[\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\right]\)
Vậy \(MIN_A=\dfrac{7}{4}\)
Dấu bằng xảy ra khi : \(m=\dfrac{1}{2}\)
