Lời giải:
a) Vì $AB$ là đường kính nên \(\angle ACB=90^0\) .
Theo công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông $CAB$ ta có:
\(CA^2=AH.AB\Rightarrow AB=\frac{15^2}{9}=25\) (cm)
\(\Rightarrow R=\frac{AB}{2}=12,5\) (cm)
b) Vì $MC$ là tiếp tuyến nên \(MC\perp OC\Rightarrow \angle MCO=90^0\)
Xét tam giác $COD$ có \(CO=DO\Rightarrow \) tam giác cân tại $O$
Do đó đường cao $OH$ đồng thời cũng là đường phân giác
\(\rightarrow \angle COM=\angle DOM\)
Xét tam giác $COM$ và $DOM$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \angle COM=\angle DOM\\ \frac{MO}{CO}=\frac{MO}{DO}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle COM\sim \triangle DOM(c.g.c)\)
\(\Rightarrow \angle MDO=\angle MCO=90^0\Rightarrow MD\perp OD\)
Do đó $MD$ là tiếp tuyến của $(O)$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông (cụ thể cho tam giác $MCO$ và $ACB$ ) ta có:
\(\left\{\begin{matrix} MH.HO=CH^2\\ AH.HB=CH^2\end{matrix}\right.\Rightarrow MH.HO=AH.HB\)
c)
Ta có:
\(\frac{1}{AM}+\frac{1}{OB}=\frac{1}{AH}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{AM}+\frac{1}{OA}=\frac{1}{AH}\)
\(\Leftrightarrow \frac{MO}{AM.OA}=\frac{1}{AH}\)
\(\Leftrightarrow MO.AH=AM.OA(*)\)
Thật vậy. Ta có:
\(MO.AH=MO(AO-HO)=MO.AO-MO.HO\)
\(=MO.AO-CO^2\) (áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông)
\(=MO.AO-OA^2=OA(MO-OA)=OA.MA\)
\((*)\) đúng, ta có đpcm.
