Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

Xét hiệu ở từng mệnh đề, sau đó biến đổi biểu thức về dạng tổng, hiệu hoặc tích của các biểu thức không âm với từng yêu cầu của đề bài.Giải chi tiết:\(\left( I \right)\)Xét \(\dfrac{a}{b} - \dfrac{{a + c}}{{b + c}}\)\( = \dfrac{{a\left( {b + c} \right) - b\left( {a + c} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}}\)\( = \dfrac{{ab + ac - ab - bc}}{{b\left( {b + c} \right)}}\) \( = \dfrac{{ac - bc}}{{b\left( {b + c} \right)}} = \dfrac{{c\left( {a - b} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}}.\)
Vì \(\dfrac{a}{b} < 1 \Rightarrow a < b\)\( \Rightarrow a - b < 0\)
Mà \(a,b,c,d > 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c\left( {a - b} \right) < 0\\b\left( {b + c} \right) > 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \dfrac{{c\left( {a - b} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}} < 0\)\( \Rightarrow \dfrac{a}{b} - \dfrac{{a + c}}{{b + c}} < 0\)\( \Rightarrow \dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + c}}{{b + c}}\)
\( \Rightarrow \) Mệnh đề \(\left( I \right)\) đúng.
\(\left( {II} \right)\) Xét \(\dfrac{a}{b} - \dfrac{{a + c}}{{b + c}}\)\( = \dfrac{{a\left( {b + c} \right) - b\left( {a + c} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}}\)\( = \dfrac{{ac - bc}}{{b\left( {b + c} \right)}} = \dfrac{{c\left( {a - b} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}}.\)
Vì \(\dfrac{a}{b} > 1 \Rightarrow a > b\) \( \Rightarrow a - b > 0\)
Mà \(a,b,c,d > 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c\left( {a - b} \right) > 0\\b\left( {b + c} \right) > 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \dfrac{{c\left( {a - b} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}} > 0\)\( \Rightarrow \dfrac{a}{b} - \dfrac{{a + c}}{{b + c}} > 0\)\( \Rightarrow \dfrac{a}{b} > \dfrac{{a + c}}{{b + c}}\)
\( \Rightarrow \) Mệnh đề \(\left( {II} \right)\) đúng .
\(\left( {III} \right)\) Vì \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d} \Rightarrow ad < bc\).
+) Xét \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + c}}{{b + d}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a\left( {b + d} \right) < b\left( {a + c} \right)\\ \Leftrightarrow ab + ad < ab + bc\end{array}\)
\( \Leftrightarrow ad < bc\)(thỏa mãn)
+) Xét \(\dfrac{{a + c}}{{b + d}} < \dfrac{c}{d}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow d\left( {a + c} \right) < c\left( {b + d} \right)\\ \Leftrightarrow ad + cd < bc + cd\end{array}\)
\( \Leftrightarrow ad < bc\)(không thỏa mãn điều kiện)
\( \Rightarrow \) Mệnh đề \(\left( {III} \right)\) sai.
Vậy có 2 mệnh đề đúng là mệnh đề \(\left( I \right)\) và mệnh đề \(\left( {II} \right)\).
Chọn C.