Bài 1: Tìm x biết:
- \[{{x}^{2}}-4x+4=25\]
ĐS: Tính đúng \[x=7,x=-3\]
- \[\frac{x-17}{1990}+\frac{x-21}{1986}+\frac{x+1}{1004}=4\]
HD: \[x=2007\]
- \[{{4}^{x}}-{{12.2}^{x}}=32=0\]
HD: \[{{4}^{x}}-{{12.2}^{x}}=32=0\Leftrightarrow {{2}^{x}}{{.2}^{x}}-{{4.2}^{x}}-{{8.2}^{x}}+4.8=0\]
\[\Leftrightarrow {{2}^{x}}\left( {{2}^{x}}-4 \right)-8\left( {{2}^{x}}-4 \right)=0\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-8 \right)\left( {{2}^{x}}-4 \right)=0\]
\[\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-{{2}^{3}} \right)\left( {{2}^{x}}-{{2}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{x}}-{{2}^{3}}=0\]hoặc \[{{2}^{x}}-{{2}^{2}}=0\]
\[\Leftrightarrow {{2}^{x}}={{2}^{3}}\]hoặc \[{{2}^{x}}={{2}^{2}}\Leftrightarrow x=3;x=2\]
Bài 2: Cho x,y,z đôi một khác nhau và \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\].
Tianh giá trị của biểu thức: \[A=\frac{yz}{{{x}^{2}}+2yz}+\frac{xz}{{{y}^{2}}+2xz}+\frac{xy}{{{z}^{2}}+2xy}\]
Giải: \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xy}=0\Rightarrow xy+yz+xz=0\Rightarrow yz=-xy-xz\]
\[{{x}^{2}}+2yz={{x}^{2}}+yz-xy-xz=x\left( x-y \right)=\left( x-y \right)\left( x-z \right)\]
Tương tự: \[{{y}^{2}}+2xz=\left( y-x \right)\left( y-z \right);{{z}^{2}}+2xy=\left( z-x \right)\left( z-y \right)\]
Do đó: \[A=\frac{yz}{\left( x-y \right)\left( x-z \right)}+\frac{xz}{\left( y-x \right)\left( y-z \right)}+\frac{xy}{\left( z-x \right)\left( z-y \right)}\]
Tính đúng \[A=1\]
Bài 3: Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chính phương.
Giải:
Gọi \[\overline{abcd}\]là số phải tìm \[a,b,c,d\in N,0\le a,b,c,d\le 9,a\ne 0\]
.png)
Kết luận đúng \[\overline{abcd}=3136\]
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao \[A{A}',B{B}',C{C}',H\]là trực tâm.
a) Tính tổng \[\frac{H{A}'}{A{A}'}+\frac{H{B}'}{B{B}'}+\frac{H{C}'}{C{C}'}\]
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC,IM,IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: \[AN.BI.CM=BN.IC.AM.\]
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức \[\frac{{{\left( AB+BC+CA \right)}^{2}}}{A{{{{A}'}}^{2}}+B{{{{B}'}}^{2}}+C{{{{C}'}}^{2}}}\]đạt giá trị nhỏ nhất?
Giải:
\[a)\frac{{{S}_{HAB}}}{{{A}_{ABC}}}=\frac{\frac{1}{2}.H{A}'.BC}{\frac{1}{2}.A{A}'.BC}=\frac{H{A}'}{A{A}'};\]
Tương tự:\[\frac{{{S}_{HAB}}}{{{A}_{ABC}}}=\frac{H{C}'}{C{C}'};\frac{{{S}_{HAC}}}{{{A}_{ABC}}}=\frac{H{B}'}{B{B}'}\]
\[\frac{H{A}'}{A{A}'}+\frac{H{B}'}{B{B}'}+\frac{H{C}'}{C{C}'}=\frac{{{S}_{HBC}}}{{{A}_{ABC}}}+\frac{{{S}_{HAB}}}{{{A}_{ABC}}}+\frac{{{S}_{HAC}}}{{{A}_{ABC}}}=1\]
b) Ap dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC,ABI,AIC:
\[\frac{BI}{IC}=\frac{AB}{AC};\frac{AN}{NB}=\frac{AI}{BI};\frac{CM}{MA}=\frac{IC}{AI}\]
\[\frac{BI}{IC}.\frac{AN}{NB}.\frac{CM}{MA}=\frac{AB}{AC}.\frac{AI}{BI}.\frac{IC}{AI}=\frac{AB}{AC}.\frac{IC}{BI}=1\]
\[\Rightarrow BI.AN.CM=BN.IC.AM\]
c) Vẽ \[Cx\bot C{C}'\]. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
- Chứng minh được góc BAD vuông, \[CD=AC,AD=2C{C}'\]
- Xét 3 điểm B,C,D ta có: \[BD\le BC+CD\]
- \[\vartriangle BAD\]vuông tại A nếu: \[A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}=B{{D}^{2}}\]
\[\Rightarrow A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}\le {{\left( BC+CD \right)}^{2}}\]
\[A{{B}^{2}}+4C{{{C}'}^{2}}\le \left( BC+AC \right)\]
\[4C{C}'\le {{\left( BC+AC \right)}^{2}}-A{{B}^{2}}\]
Tương tự: \[4A{{{A}'}^{2}}\le {{\left( AB+AC \right)}^{2}}-B{{C}^{2}}\]
\[4B{{{B}'}^{2}}\le {{\left( AB+BC \right)}^{2}}-A{{C}^{2}}\]
- Chứng minh được:\[4\left( A{{{{A}'}}^{2}}+B{{{{B}'}}^{2}}+C{{{{C}'}}^{2}} \right)\le {{\left( AB+BC+AC \right)}^{2}}\]
\[\Leftrightarrow \frac{{{\left( AB+BC+CA \right)}^{2}}}{A{{{{A}'}}^{2}}+B{{{{B}'}}^{2}}+C{{{{C}'}}^{2}}}\ge 4\]
Đẳng thức xảy ra \[\Leftrightarrow BC=AC,AC=AB,AB=BC\Leftrightarrow AB=AC=BC\]
\[\Leftrightarrow \vartriangle ABC\] đều
Bài 5:
Cho \[{{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}=4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-ac-bc \right)\]
Chứng minh rằng \[a=b=c\]
Giải: Biến đổi các đẳng thức để được
\[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc+{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-2ac=4{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}-4ab-4ac-4bc\]
Biến đổi đề có: \[\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ac \right)+\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc \right)+\left( {{c}^{2}}+{{a}^{2}}-2ac \right)=0\]
Biến đổi đề có: \[{{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}=0\left( * \right)\]
Vì \[{{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0;{{\left( b-c \right)}^{2}}\ge 0;{{\left( c-a \right)}^{2}}\ge 0;\]với mọi a,b,c
Nên (*) xảy ra khi và chỉ khi \[{{\left( a-b \right)}^{2}}=0;{{\left( b-c \right)}^{2}}=0\] và \[{{\left( c-a \right)}^{2}}=0\];
Từ đó suy ra \[a=b=c\]
Bài 6:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[A={{a}^{4}}-2{{a}^{3}}+3{{a}^{2}}-4a+5\].
Giải: Biến đổi đề có \[A={{a}^{2}}\left( {{a}^{2}}+2 \right)-2a\left( {{a}^{2}}+2 \right)+\left( {{a}^{2}}+2 \right)+3\]
\[=\left( {{a}^{2}}+2 \right)\left( {{a}^{2}}-2a+1 \right)+3=\left( {{a}^{2}}+2 \right){{\left( a-1 \right)}^{2}}+3\]
Vì \[{{a}^{2}}+2>0\forall a\] và \[{{\left( a-1 \right)}^{2}}\ge 0\forall a\]nên \[\left( {{a}^{2}}+2 \right){{\left( a-1 \right)}^{2}}\ge 0\forall a\]
Do đó \[\left( {{a}^{2}}+2 \right){{\left( a-1 \right)}^{2}}+3\ge 3\forall a\]
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \[a-1=0\Leftrightarrow a=1\]
Bài 7:
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng \[{{60}^{0}}\], phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD,BC,CD.
a, Tứ giác AMNI là hình gì ? Chứng minh.
b, Cho \[AB=4cm\]. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.
.png)
Giải:
- Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang . Chứng minh được \[AN=MI\], từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân
- Tính được \[AD=\frac{4\sqrt{3}}{3}cm;BD=2AD=\frac{8\sqrt{3}}{3}cm\]
\[AM=\frac{1}{2}BD=\frac{4\sqrt{3}}{3}cm\]
Tính được \[MI=AM=\frac{4\sqrt{3}}{3}cm\]
\[DC=BC=\frac{8\sqrt{3}}{3}cm,MN=\frac{1}{2}DC=\frac{4\sqrt{3}}{3}cm\]
Tính được \[AI=\frac{8\sqrt{3}}{3}cm\]
Bài 8:
Hình thang ABCD\[\left( AB//CD \right)\] có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD,BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng \[OM=ON\].
b, Chứng minh rằng \[\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{MN}\].
c, Biết \[{{S}_{AOB}}={{2008}^{2}}\](đơn vị diện tích);\[{{S}_{COD}}={{2009}^{2}}\](đơn vị diện tích). Tính \[{{S}_{ABCD}}\].
.png)
Giải:
- Lập luận đề có \[\frac{OD}{AB}=\frac{OD}{BD},\frac{ON}{AB}=\frac{OC}{AC}\]
Lập luận vấn đề có \[\frac{OD}{DB}=\frac{OC}{AC}\]
\[\Rightarrow \frac{OM}{AB}=\frac{ON}{AB}\Rightarrow OM=ON\]
- Xét \[\vartriangle ABD\]đề có \[\frac{OM}{AB}=\frac{DM}{AD}\left( 1 \right)\], xét \[\vartriangle ADC\] đề có \[\frac{OM}{DC}=\frac{AM}{AD}\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow OM.\left( \frac{1}{AB}+\frac{1}{CD} \right)=\frac{AM+DM}{AD}=\frac{AD}{AD}=1\]
Chứng minh tương tự \[ON.\left( \frac{1}{AB}+\frac{1}{CD} \right)=1\]
Từ đó có \[\left( OM+ON \right).\left( \frac{1}{AB}+\frac{1}{CD} \right)=2\Rightarrow \frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{MN}\]
\[c)\frac{{{S}_{AOB}}}{{{S}_{AOD}}}=\frac{OB}{OD},\frac{{{S}_{BOC}}}{{{S}_{DOC}}}=\frac{OB}{OD}\Rightarrow \frac{{{S}_{AOB}}}{{{S}_{AOD}}}=\frac{{{S}_{BOC}}}{{{S}_{DOC}}}\Rightarrow {{S}_{AOB}}.{{S}_{DOC}}={{S}_{BOC}}.{{S}_{AOD}}\]
Chứng minh được \[{{S}_{AOD}}={{S}_{BOC}}\]
\[\Rightarrow {{S}_{AOB}}.{{S}_{DOC}}={{\left( {{S}_{AOD}} \right)}^{2}}\]
Thay số để có \[{{2008}^{2}}{{.2009}^{2}}={{\left( {{S}_{AOD}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{S}_{AOD}}=2008.2009\]
Do đó \[{{S}_{ABCD}}={{2008}^{2}}+2.2008.2009+{{2009}^{2}}={{\left( 2008+2009 \right)}^{2}}={{4017}^{2}}\]( đơn vị diện tích)
Bài 9:
Cho \[X=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc};Y=\frac{{{a}^{2}}-{{\left( b-c \right)}^{2}}}{{{\left( b+c \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}\]
Tính giá trị \[P=x+y+xy\]
Bài 10:
Giải phương trình:
\[a,\frac{1}{a+b-x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}\]
\[b,\frac{\left( b-c \right){{\left( 1+a \right)}^{2}}}{x+{{a}^{2}}}+\frac{\left( c-a \right){{\left( 1+b \right)}^{2}}}{x+{{b}^{2}}}+\frac{\left( a-b \right){{\left( 1+c \right)}^{2}}}{x+{{c}^{2}}}=0\]
(a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Bài 11:
Xác định các số a,b biết:
\[\frac{\left( 3x+1 \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}=\frac{a}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+\frac{b}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\]
Bài 12:
Chứng minh phương trình:
\[2{{x}^{2}}-4y=10\]Không có nghiệm nguyên.
Bài 13:
Cho \[\vartriangle ABC;AB=3AC\]
Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C
Bài 14:
Cho biểu thức \[A=\left[ \frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}\left( \frac{1}{x}+1 \right)+\frac{1}{{{x}^{2}}+2x+1}\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}+1 \right) \right]:\frac{x-1}{{{x}^{3}}}\]
a/ Thu gọn A
b/ Tìm các giá trị của x để \[A<1\]
c/ Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
Bài 15:
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên):
\[{{x}^{2}}+2xy+7x+7y+{{y}^{2}}+10\]
b/ Biết \[xy=11\] và \[{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}+x+y=2010\]. Hãy tính \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\]
Bài 16:
Cho đa thức \[{{P}_{\left( x \right)}}={{x}^{2}}+bx+c\], trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức \[{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}+25\] và \[3{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+28x+5\]đều chia hết cho P(x). Tính \[{{P}_{\left( 1 \right)}}\]
Bài 17:
Cho hình chữ nhật có \[AB=2AD\], gọi E,I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho \[DM=EK\]. Gọi G là giao điểm của Dk và EM.
a/ Tính số đo góc DBK.
b/ Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A,I,G,H cùng nằm trên một đường thẳng.
Bài 18:
Chứng minh rằng : Nếu ba số tự nhiên \[m,m+k,m+2k\]đều là các số nguyên tố hơn 3, thì k chia hết cho 6.
