Các phương pháp mà các em sẽ được học để phân tích đa thức thành nhân tử là:
– Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
– Thêm, bớt cùng một hạng tử
– Đặt ẩn phụ
– Phương pháp hệ số bất định
1. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Định lí bổ sung:
+) Đa thức \[f\left( x \right)\]có nghiệm hữu tỉ thì có dạng \[\frac{p}{q}\]trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất
+) Nếu \[f\left( x \right)\] có tổng các hệ số bằng 0 thì \[f\left( x \right)\]có một nhân tử là \[x-1\]
+) Nếu \[f\left( x \right)\]có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chắn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì \[f\left( x \right)\]có một nhân tử là \[x+1\]
+) Nếu a là nghiệm nguyên của \[f\left( x \right)\]và \[f\left( 1 \right)\];\[f\left( -1 \right)\]khác 0 thì \[\frac{f\left( 1 \right)}{a-1}\]và \[\frac{f\left( -1 \right)}{a+1}\] đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do.
Ví dụ 1: \[3{{x}^{2}}-8x+4\]
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2
\[3{{x}^{2}}-8x+4=3{{x}^{2}}-6x-2x+4=3x\left( x-2 \right)-2\left( x-2 \right)=\left( x-2 \right)\left( 3x-2 \right)\]
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
\[3{{x}^{2}}-8x+4=\left( 4{{x}^{2}}-8x+4 \right)-{{x}^{2}}={{\left( 2x-2 \right)}^{2}}-{{x}^{2}}=\left( 2x-2+x \right)\left( 2x-2-x \right)=\left( x-2 \right)\left( 3x-2 \right)\]
Ví dụ2: \[{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-4\]
Hướng dẫn:
Ta nhận thấy nghiệm của \[f\left( x \right)\]nếu có thì \[x=\pm 1;\pm 2;\pm 4\], chỉ có \[f\left( 2 \right)=0\]nên \[x=2\]là nghiệm của \[f\left( x \right)\]nên \[f\left( x \right)\]có một nhân tử là \[x-2\]. Do đó ta tách \[f\left( x \right)\]thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là \[x-2\]
Cách 1:
\[{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-4=\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}} \right)+\left( {{x}^{2}}-2x \right)+\left( 2x-4 \right)\]
\[={{x}^{2}}\left( x-2 \right)+x\left( x-2 \right)+2\left( x-2 \right)=\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)\]
Cách 2:
\[{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-4={{x}^{3}}-8-{{x}^{2}}+4\]
\[=\left( {{x}^{3}}-8 \right)-\left( {{x}^{2}}-4 \right)=\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)-\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\]
\[=\left( x-2 \right)\left[ \left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)-\left( x+2 \right) \right]=\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)\]
Ví dụ 3:\[f\left( x \right)=3{{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+17x-5\]
Hướng dẫn:
\[\pm 1,\pm 5\]không là nghiệm của \[f\left( x \right)\], như vậy \[f\left( x \right)\] không có nghiệm nguyên. Nếu \[f\left( x \right)\]nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy \[x=\frac{1}{3}\]là nghiệm của \[f\left( x \right)\]do đó \[f\left( x \right)\]có một nhân tử là \[3x-1\]. Nên
\[f\left( x \right)=3{{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+17x-5=3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+2x+15x-5\]
\[=\left( 3{{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right)-\left( 6{{x}^{2}}-2x \right)+\left( 15x-5 \right)\]
\[={{x}^{2}}\left( 3x-1 \right)-2x\left( 3x-1 \right)+5\left( 3x-1 \right)=\left( 3x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+5 \right)\]
Vì \[{{x}^{2}}-2x+5=\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)+4={{\left( x-1 \right)}^{2}}+4>0\]xới mọi \[x\] nên koong phân tích được thành nhân tử nữa
Ví dụ 4:\[{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+8x+4\]
Hướng dẫn:
Tổng cấc hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là \[x+1\]
\[{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+8x+4=\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right)+\left( 4{{x}^{2}}+4x \right)+\left( 4x+4 \right)\]
\[={{x}^{2}}\left( x+1 \right)+4x\left( x+1 \right)+a\left( x+1 \right)\]
\[=\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+4x+4 \right)=\left( x+1 \right){{\left( x+2 \right)}^{2}}\]
Ví dụ 5: \[f\left( x \right)={{x}^{5}}-2{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4{{x}^{2}}+2\]
Hướng dẫn:
Tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có một nhân tử là \[x-1\], chia \[f\left( x \right)\]cho\[\left( x-1 \right)\]ta có:
\[{{x}^{5}}-2{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+2=\left( x-1 \right)\left( {{x}^{4}}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-2x-2 \right)\]
Vì \[{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-2x-2\] không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hưu tỉ nên không phân tích được nữa
Ví dụ 6: \[{{x}^{4}}+1997{{x}^{2}}+1996x+1997\]
hướng dẫn:
\[{{x}^{4}}+1997{{x}^{2}}+1996x+1997=\left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 \right)+\left( 1996{{x}^{2}}+1996x+1996 \right)\]
\[=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)+1996\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\]
\[=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1+1996 \right)=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1997 \right)\]
Ví dụ 7: \[{{x}^{2}}-x-2001.2002\]
\[{{x}^{2}}-x-2001.2002={{x}^{2}}-x-2001.\left( 2001+1 \right)\]
\[={{x}^{2}}-x-20012-2001=\left( {{x}^{2}}-20012 \right)-\left( x+2001 \right)=\left( x+2001 \right)\left( x-2002 \right)\]
2. Thêm, bớt cùng một hạng tử
a) Thêm , bớt cùng một hạng tử đề xuất hiện hiệu hai bình phương:
Ví dụ: \[4{{x}^{4}}+81\]
hướng dẫn:
\[4{{x}^{4}}+81=4{{x}^{4}}+36{{x}^{2}}+81-36{{x}^{2}}={{\left( 2{{x}^{2}}+9 \right)}^{2}}-36{{x}^{2}}\]
\[={{\left( 2{{x}^{2}}+9 \right)}^{2}}-{{\left( 6x \right)}^{2}}=\left( 2{{x}^{2}}+9+6x \right)\left( 2{{x}^{2}}+9-6x \right)\]
\[=\left( 2{{x}^{2}}+6x+9 \right)\left( 2{{x}^{2}}-6x+9 \right)\]
Ví dụ 2: \[{{x}^{8}}+98{{x}^{4}}+1\]
hướng dẫn:
\[{{x}^{8}}+98{{x}^{4}}+1=\left( {{x}^{8}}+2{{x}^{4}}+1 \right)+96{{x}^{4}}\]
\[={{\left( {{x}^{4}}+1 \right)}^{2}}+16{{x}^{2}}\left( {{x}^{4}}+1 \right)+64{{x}^{4}}-16{{x}^{2}}\left( {{x}^{4}}+1 \right)+32{{x}^{4}}\]
\[={{\left( {{x}^{4}}+1+8{{x}^{2}} \right)}^{2}}-16{{x}^{2}}\left( {{x}^{4}}+1-2{{x}^{2}} \right)\]
\[={{\left( {{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}-16{{x}^{2}}{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}\]
\[={{\left( {{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}-{{\left( 4{{x}^{3}}-4x \right)}^{2}}\]
\[=\left( {{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}-4x+1 \right)\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+4x+1 \right)\]
b) Thêm , bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 1: \[{{x}^{7}}+{{x}^{2}}+1\]
hướng dẫn:
\[{{x}^{7}}+{{x}^{2}}+1=\left( {{x}^{7}}-x \right)+\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\]
\[=x\left( {{x}^{6}}-1 \right)+\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\]
\[=x\left( {{x}^{3}}-1 \right)\left( {{x}^{3}}+1 \right)+\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\]
\[=x\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{3}}+1 \right)+\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\]
\[=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left[ x\left( x-1 \right)\left( {{x}^{3}}+1 \right)+1 \right]\]
\[=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{5}}-{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-x+1 \right)\]
Ví dụ 2: \[{{x}^{7}}+{{x}^{5}}+1\]
hướng dẫn:
\[{{x}^{7}}+{{x}^{5}}+1=\left( {{x}^{7}}-x \right)+\left( {{x}^{5}}-{{x}^{2}} \right)+\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\]
\[=x\left( {{x}^{3}}-1 \right)\left( {{x}^{3}}+1 \right)+{{x}^{2}}\left( {{x}^{3}}-1 \right)+\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\]
\[=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( {{x}^{4}}+x \right)+{{x}^{2}}\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\]
\[=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left[ \left( {{x}^{5}}-{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-x \right)+\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right)+1 \right]\]
\[=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{5}}-{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-x+1 \right)\]
Ghi nhớ:
Các đa thức có dạng \[{{x}^{3m+1}}+{{x}^{3n+2}}+1\]như:
\[{{x}^{7}}+{{x}^{2}}+1;{{x}^{7}}+{{x}^{5}}+1;{{x}^{8}}+{{x}^{4}}+1;{{x}^{5}}+x+1;{{x}^{8}}+x+1;...\]đều có nhân tử chung là \[{{x}^{2}}+x+1\]
3. Đặt ẩn phụ
Ví dụ 1:\[x\left( x+4 \right)\left( x+6 \right)\left( x+10 \right)+128\]
hướng dẫn:
\[x\left( x+4 \right)\left( x+6 \right)\left( x+10 \right)+128=\left[ x\left( x+10 \right) \right]\left[ \left( x+4 \right)\left( x+6 \right) \right]+128\]
\[=\left( {{x}^{2}}+10x \right)+\left( {{x}^{2}}+10x+24 \right)+128\]
Đặt \[{{x}^{2}}+10x+12=y,\]đa thức có dạng:
\[\left( y-12 \right)\left( y+12 \right)+128={{y}^{2}}-144+128\]
\[={{y}^{2}}-16=\left( y+4 \right)\left( y-4 \right)\]
\[=\left( {{x}^{2}}+10x+8 \right)\left( {{x}^{2}}+10x+16 \right)\]
\[=\left( x+2 \right)\left( x+8 \right)\left( {{x}^{2}}+10x+8 \right)\]
Ví dụ 2: \[A={{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-6x+1\]
hướng dẫn:
Gỉa sử \[x\ne 0\]ta viết
\[{{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-6x+1={{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+6x+7-\frac{6}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\]
\[={{x}^{2}}\left[ \left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+6\left( x-\frac{1}{x} \right)+7 \right]\]
Đặt \[x-\frac{1}{x}=y\]thì \[{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{y}^{2}}+2\], do đó
\[A={{x}^{2}}\left( {{y}^{2}}+2+6y+7 \right)={{x}^{2}}{{\left( y+3 \right)}^{2}}={{\left( xy+3x \right)}^{2}}\]
\[={{\left[ x{{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{2}}+3x \right]}^{2}}={{\left( {{x}^{2}}+3x-1 \right)}^{2}}\]
Chú ý: Ví dụ trên có thể giải cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
\[A={{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-6x+1={{x}^{4}}+\left( 6{{x}^{3}}-2{{x}^{2}} \right)+\left( 9{{x}^{2}}-6x+1 \right)\]
\[={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}\left( 3x-1 \right)+{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}={{\left( {{x}^{2}}+3x-1 \right)}^{2}}\]
Ví dụ 3:\[{{\left( a+b+c \right)}^{3}}-4\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)-12abc\]
Đặt \[a+b=m,a-b=n\]thì \[4ab={{m}^{2}}-{{n}^{2}}\]
\[{{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left[ {{\left( a-b \right)}^{2}}+ab \right]=m\left( {{n}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}-{{n}^{2}}}{4} \right)\]
Ta có:
\[C={{\left( m+c \right)}^{3}}-4.\frac{{{m}^{3}}+3m{{n}^{2}}}{4}-4{{c}^{3}}-3c\left( {{m}^{2}}-{{n}^{2}} \right)\]
\[=3\left( -{{c}^{3}}+m{{c}^{2}}-m{{n}^{2}}+c{{n}^{2}} \right)\]
\[=3\left[ {{c}^{2}}\left( m-c \right)-{{n}^{2}}\left( m-c \right) \right]=3\left( m-c \right)\left( c-n \right)\left( c+n \right)\]
\[=3\left( a+b-c \right)\left( c+a-b \right)\left( c-a+b \right)\]
4. Phương pháp hệ số bấy định
Ví dụ 1: \[{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-14x+3\]
hướng dẫn:
Các số \[\pm 1,\pm 3\] không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ.
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
\[\left( {{x}^{2}}\text{+ax+b} \right)\left( {{x}^{2}}+cx+d \right)={{x}^{4}}+\left( a+c \right){{x}^{3}}+\left( ac+b+d \right){{x}^{2}}+\left( ad+bc \right)x+bd\]
đồng nhất đathức này với đa thức đã cho ta có:
Xét \[bd=3\]với \[b,d\in Z,b\in \left\{ \pm 1,\pm 3 \right\}\]
Với \[b=3\]thì \[d=1\]hệ điều kiện trên trở thành:
Vậy \[{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-14x+3=\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)\]
Ví dụ 2: \[12{{x}^{2}}+5x-12{{y}^{2}}+12y-10xy-3\]
hướng dẫn:
\[=ac{{x}^{2}}+\left( 3c-a \right)x+bd{{y}^{2}}+\left( 3d-b \right)y+\left( dc+ad \right)xy-3\]
\[\Rightarrow 12{{x}^{2}}+5x-12{{y}^{2}}+12y-10xy-3=\left( 4x-6y+3 \right)\left( 3x+2y-1 \right)\]
Bài tập tự giải:
\[1){{x}^{3}}-7+6\]
\[2){{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+6x+16\]
\[3){{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-x+30\]
\[4)2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+5x+3\]
\[5)27{{x}^{3}}-27{{x}^{2}}+18x-4\]
\[6){{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}-x-y-12\]
\[7)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)\left( x+5 \right)-24\]
\[8)4{{x}^{4}}-32{{x}^{2}}+1\]
\[9)3\left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 \right)-{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}\]
\[10)64{{x}^{4}}+{{y}^{4}}\]
\[11){{a}^{6}}+{{a}^{4}}+{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}-{{b}^{6}}\]
\[12){{x}^{3}}+3xy+{{y}^{3}}-1\]
\[13)4{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+2x+1\]
\[14){{x}^{8}}+x+1\]
\[15){{x}^{8}}+3{{x}^{4}}+4\]
\[16)3{{x}^{2}}+22xy+11x+37y+7{{y}^{2}}+10\]
\[17){{x}^{4}}-8x+63\]
