Lý thuyết hai tam giác đồng dạng

1. Định nghĩa hai tam giác đồng dạng

Hai tam giác được gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ.

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

\[\widehat{{{A}'}}=\widehat{A};\widehat{{{B}'}}=\widehat{B};\widehat{{{C}'}}=\widehat{C}\]

Và \[\frac{{A}'{B}'}{AB}=\frac{{B}'{C}'}{BC}=\frac{{C}'{A}'}{CA}\]

Kí hiệu tam giác đồng dạng: ∆A’B’C’ ~ ∆ABC

Tỉ số: \[\frac{{A}'{B}'}{AB}=\frac{{B}'{C}'}{BC}=\frac{{C}'{A}'}{CA}=k\] gọi là tỉ số đồng dạng.

2. Tính chất hai tam giác đồng dạng

Hai tam giác A’B’C’ và ABC đồng dạng có một số tính chất:

1) ∆ABC ~ ∆A’B’C’

2) Nếu ∆A’B’C’ ~ ∆ABC thì ∆ABC ~ ∆A’B’C’

3) Nếu ∆A’B’C’ ~ ∆A”B”C” và ∆A”B”C” ~ ∆ABC thì ∆A’B’C’ ~ ∆ABC

3 . Định lí hai tam giác đồng dạng

Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

*Chú ý: 

Định lí cũng đúng cho trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài của hai tam giác song song với cạnh còn lại.

giải bài tập :

Dạng 1 : chứng minh hai tam giác đồng dạng – hệ thức :

cho ∆ABC (AB < AC), có AD là đường phân giác trong. Ở miền ngoài ∆ABC vẽ tia Cx sao cho \[\widehat{BCx}=\widehat{BAD}\] . Gọi I là giao điểm của Cx và AD. cmr :

a) ∆ADB đồng dạng ∆CDI.

b) \[\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AI}\]

c) AD² = AB.AC – BD.DC

GIẢI.

a)∆ADB và ∆CDI , ta có :

\[\widehat{BCx}=\widehat{BAD}\](gt)

\[\widehat{{{D}_{1}}}=\widehat{{{D}_{2}}}\](đối đỉnh)

=> ∆ADB ~ ∆CDI

b) )∆ABD và ∆AIC , ta có :

\[\widehat{B}=\widehat{I}\](∆ADB ~ ∆CDI)

\[\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}\] (AD là phân giác)

=> ∆ABD ~ ∆AIC

\[\Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AI}\]

c)=> AD.AI = AB.AC (1)

mà :\[\frac{AD}{AD}=\frac{BD}{DI}\](∆ADB ~ ∆CDI )

=> AD.DI = BD.CD (2)

từ (1) và (2) :

AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD(AI – DI ) = AD.AD = AD²

Dạng 2 : chứng minh hai tam giác đồng dạng – định lí talet + hai đường thẳng song song :

bài toán :

Cho ∆ABC nhọn. kẻ đường cao BD và CE. vẽ các đường cao DF và EG của ∆ADE. Chứng minh :

a) ∆ABD đồng dạng ∆AEG.

b) AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) FG // BC

GIẢI.

a) xét ∆ABD và ∆AEG, ta có :

\[BD~~\bot AC\](BD là đường cao)

\[EG\bot ~~AC\](EG là đường cao)

=> BD // EG

b)\[\Rightarrow \frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AG}\]

=> AD.AE = AB.AG (1)

cmtt, ta được : AD.AE = AC.AF (2)

từ (1) và (2) suy ra :

AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) xét ∆ABC, ta có :

AB.AG = AC.AF (cmt)

\[\frac{AB}{AF}=\frac{AC}{AG}\]

=> FG // BC (định lí đảo talet)

Dạng 3 : chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau :

Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh :

a) ∆HBE đồng dạng ∆HCE.

b) ∆HED đồng dạng ∆HBC và 

c) cho biết BD = CD. Gọi M là giao điểm của AH và BC. chứng minh : DE vuông góc EM.

GIẢI.

a)xét ∆HBE và ∆HCD, ta có :

\[\widehat{BEH}=\widehat{CDH}={{90}^{0}}\](gt)

\[\widehat{{{H}_{1}}}=\widehat{{{H}_{2}}}\](đối đỉnh)

=> ∆HBE ~ ∆HCD (g – g)

b) ∆HED và ∆HBC, ta có :

\[\frac{HE}{HD}=\frac{HB}{HC}\] (∆HBE ~ ∆HCD)

\[\Rightarrow \frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}\]

\[\widehat{EHD}=\widehat{CHB}\](đối đỉnh)

=> ∆HED ~ ∆HBC (c – g – c)

\[\Rightarrow \widehat{{{D}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\left( 1 \right)\]

mà : đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)

=> H là trực tâm.

\[\Rightarrow AH\bot BC\] tại M

\[\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{ABC}={{90}^{0}}\]

từ (1) và (2) :\[\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{D}_{1}}}\]

hay: \[\widehat{HDE}=\widehat{HAE}\]

c) cmtt câu b, ta được : \[\widehat{{{A}_{2}}}=\widehat{{{E}_{2}}}\left( 3 \right)\]

xét ∆BCD, ta có :

DB = DC (gt)

=> ∆BCD cân tại D

\[\Rightarrow \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{ACB}\]

Mà: \[\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{E}_{1}}}\](∆HED ~ ∆HBC)

\[\Rightarrow \widehat{{{E}_{1}}}=\widehat{ACB}\]

Mà: \[\widehat{{{A}_{2}}}=\widehat{ACB}={{90}^{0}}\]

\[\widehat{{{A}_{2}}}=\widehat{{{E}_{2}}}\](cmt)

\[\Rightarrow \widehat{{{E}_{1}}}=\widehat{{{E}_{2}}}={{90}^{0}}\]

Hay: \[\widehat{DEM}={{90}^{0}}\]

\[\Rightarrow ED\bot BM\]

 

Bài viết gợi ý: