xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian bằng vectơ

Để tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ trong không gian ta có thể dùng véctơ như sau:

Khai triển vô hướng hai véctơ:

$\begin{gathered} \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} \\ = \dfrac{{A{B^2} + A{D^2} - B{D^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{2} = \dfrac{{A{D^2} + B{C^2} - B{D^2} - A{C^2}}}{2}. \\ \end{gathered} $

Suy ra: $\cos (AB,CD)=\dfrac{\left| \overrightarrow{AB}\overrightarrow{CD} \right|}{AB.CD}=\dfrac{\left| A{{D}^{2}}+B{{C}^{2}}-B{{D}^{2}}-A{{C}^{2}} \right|}{2AB.CD}.$

Ví dụ minh hoạ: 

Câu 1: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=2,AC=3,AD=BC=4,BD=2\sqrt{5},CD=5.$ Tính góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $BD.$

Lời giải chi tiết: Ta có

$\begin{gathered} \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} }}{{AC.BD}} = \frac{{\overrightarrow {AC} \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)}}{{AC.BD}} = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} }}{{AC.BD}} \\ = \frac{{\frac{{A{C^2} + A{D^2} - C{D^2}}}{2} - \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{2}}}{{AC.BD}} \\ = \frac{{A{D^2} + B{C^2} - C{D^2} - A{B^2}}}{{2AC.BD}} = \frac{{{4^2} + {4^2} - {5^2} - {2^2}}}{{2.3.2\sqrt 5 }} = \frac{1}{{4\sqrt 5 }}. \\ \end{gathered} $

Chọn đáp án A.

Bài viết gợi ý: