Bài 1: Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố
hay hợp số
a) 11.23.35 + 5.7.19
b) 23.27.29 + 1
c) 25 - 1
d) $\overline{abcabc}+7$
e)$\overline{abcabc}+22$
f)$\overline{abcabc}+39$
g) 1.3.5.7.....13 + 20
h) 147.247.347 – 13
i) $\underbrace{111.....1}_{nchuso1}2\underbrace{111.....1}_{nchuso1}$
j) $\underbrace{111.....1}_{2016chuso1}$
k) 8765487654
l) 976397639763
m) $5+{{5}^{2}}+{{5}^{3}}+...+{{5}^{2016}}$
n) 1112111 (11110000 +1111) :1111
o) 311141111 (311110000 +31111)
Bài 2: Thay chữ số vào dấu * để được các
số sau là số nguyên tố
$\overline{{{7}^{*}}};\overline{{{8}^{*}}};\overline{{{1}^{*}}};\overline{{{9}^{*}}};\overline{{{99}^{*}}};\overline{^{*}7};\overline{^{*}1};\overline{{{5}^{*}}};\overline{{{6}^{*}}}$
Bài 3: Thay chữ số vào dấu * để được các
số sau là số hợp số
$\overline{{{7}^{*}}};\overline{{{8}^{*}}};\overline{{{1}^{*}}};\overline{{{9}^{*}}};\overline{{{99}^{*}}};\overline{^{*}7};\overline{^{*}1};\overline{{{5}^{*}}};\overline{{{6}^{*}}}$
Bài 4: Tìm hai số nguyên tố biết:
a) hiệu của hai số là 507 (HD: hiệu của hai số là số lẻ do đó có một số nguyên tố là chẵn,suy ra một trong hai số là 2 số còn lại là 507 + 2 = 509)
b) tổng của hai số là 931
c) tổng của hai số là 309
d) tổng của hai số là 601
Bài 5: Tổng của ba số nguyên tố là 1012. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó
(HD: tổng của ba số là số chẵn do đó có một số nguyên tố là chẵn, suy ra một trong ba số là 2 vậy số nhỏ nhất là 2)
Bài 6: Tổng của năm số nguyên tố là 142. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong năm số nguyên tố đó
Bài 7: Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2017 hay không? 2003 hay không?
(HD: tổng hai số là số lẻ nên một trong hai số là chẵn (2) suy ra số thứ hai là 2015 chia hết cho 5, số này là hợp số vậy ...)
Bài 8: Tìm hai số tự nhiên sao cho tổng và tích của chúng đều là số nguyên tố?
HD: Tích hai số = 1 nên một trong hai số là 1 số còn lại goi là a là số nguyên tố, vì theo đề bài a + 1 cũng là số nguyên tố nên xét 2 thường hợp
+Nếu a + 1 là số lẻ thì a là chăn,do a là nguyên tố nên a là 2.
+Nếu a + 1 là chẵn thì a + 1 = 2 vì 1 + 2 là số nguyên tố khi đó a = 1 không phải là số nguyên tố (loại) vậy hai số cần tìm là 1 và 2
Bài 9: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố
a) p + 2 và p + 10 (HD giống câu h)
b) p + 10 và p + 20 (HD giống câu h)
c) p + 2 và p + 94 (HD giống câu h)
d) p + 6; p + 8; p + 12; p + 14
(HD p = 5. Xét p có 5 dạng 5k, 5k + 1, 5k +2, 5k +3, 5k + 4
e) p + 2; p + 6; p + 8; p + 12; p + 14
(HD p = 5. Xét p có 5 dạng 5k, 5k + 1, 5k +2, 5k +3, 5k + 4
f) p + 4; P + 8
g) p + 2; p + 6; p + 8 (HD p = 5
h) p + 2; p + 4 (HD số p có một trong 3 dạng 3k,3k + 1, 3k + 2 (k ∈ N *)
+ nếu p = 3k thì p = 3 (vì p là nguyên tố) khi đó p + 2 = 5, p + 4 = 7đều là nguyên tố
+ nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số, trái với đềbài. Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 4 là hợp số trái với đề bài. Vậy p = 3 là giá trị duy nhất cần tìm.
Bài 10: Tìm tất cả các số tự nhiên n để mỗi số sau đều là số nguyên tố : n + 1; n + 3; n + 7; n + 9; n + 13; n + 15
(HD: Xét n≤4 và n≥5. Đs n = 4)
Bài 11: Cho p và 2p + 1 đều là số nguyên tố (p > 5). Hỏi 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số
GIẢI
Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3 suy ra 4p cũng không chia hết cho 3. Do 2p + 1 là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 2p + 1 không chia hết cho 3 suy ra 2(2p + 1) không chia hết cho 3 hay 4p + 2 không chia hết cho 3 mặt khác trong 3 số tự nhiên liên tiếp 4p, 4p +1, 4p + 2 có một số chia hết cho 3 do đó 4p + 1 chia hết cho 3 mà 4p + 1 > 3 suy ra 4p + 1 là hợp số.
Bài 12: Cho p và p + 4 là số nguyên tố (p>3) chứng tỏ rằng p + 8 là hợp số
Giải
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2
Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 suy ra loại
Nếu p = 3k + 1 thì p + 7 = 3k + 8 không chia hết cho 3 suy ra 2(3k + 7) không chia hết cho 3 hay 2p + 14 không chia hết cho 3 mà trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 mà 2p + 14 và 2p + 15 không chia hết cho 3 suy ra 2p + 16 chia hết cho 3 hay p + 8 chia hết cho 3 suy ra p + 8 là hợp số
Bài 13: Tìm 3 số lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố.
Giải
Giả sử ba số lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố là p, p+ 2, p + 4
Nếu p = 3 thì p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là số nguyên tố (thỏa mãn)
Nếu p > 3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2
Với p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 (loại)
Với p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 (loại)
Vậy chỉ có ba số là 3,5,7
Bài 14: Tìm ba số nguyên tố dạng p, p + 10, p + 20
Giải
Ta viết p, (p + 1) + 9, (p + 2) + 18. Trong ba số p; p + 1; p + 2 luôn có một số chia hết cho 3 suy ra trong ba số p, (p + 1) + 9, (p + 2 ) + 18 luôn có một số chia hết cho 3 hay trong ba số p, p + 10, p + 20 luôn có một số chia hết cho 3, vậy p = 3 ta có ba số đó là 3, 13, 23.
Bài 15: Tìm chữ số a để là số nguyên tố
Giải
Vì $\overline{23a}<239$ và ${{15}^{2}}<239<{{16}^{2}}$ nên $\overline{23a}$ là số nguyên tố thì nó phải không chia hết cho các số nguyên tố 2,3,5,7,11,13
Vì $\overline{23a}$ không chia hết cho 2 nên $a\in \left\{ 1;3;5;7;9 \right\}$
Vì $\overline{23a}$ không chia hết cho 5 nên $a\in \left\{ 1;3;7;9 \right\}$
Vì $\overline{23a}$ không chia hết cho 3 nên $a\in \left\{ 3;9 \right\}$
Thử lại ta có 233 và 239 thỏa mãn
Bài 16: hãy viết các số chẵn từ 20 đến 30 thành tổng của hai số nguyên tố
Bài 17: tìm số tự nhiên n để (n + 3)(n + 1) là số nguyên tố
(HD: một trong hai thừa số phải = 1 mà n + 3 > n + 1 suy ra n + 1 = 1 suy ra n = 0)
Bài 18: Với p là số nguyên tố và một trong hai số 8p – 1 và 8p + 1 là số nguyên tố thì số thứ ba là nguyên tố hay hợp số.
Giải
p = 2 thì 8p + 1 = 17 là nguyên tố và 8p – 1 = 15 là hợp số
p = 3 thì 8p + 1 = 25 là hợp số còn 8p – 1 = 23 là số nguyên tố
p > 3 ta xét ba số 8p – 1; 8p; 8p + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3 mà do p không chia hết cho 3 nên 8p không chia hết cho 3 vậy hoặc 8p – 1 chia hết cho 3 hoặc 8p + 1 chia hết cho 3 vậy số thứ ba là hợp số.
Bài 19: a) Cho n là một số không chia hết cho 3. Chứng minh rằng n2 chia cho 3 dư 1
b) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 hỏi p2 + 2015 là số nguyên tố hay hợp số
HD:
a) n = 3k + 1 => n2 = 3k(3k + 1) + 3k + 1 => n2 chia 3 dư 1
n = 3k + 2 => n2 = 3k(3k + 2) + 6k + 4 => n2 chia 3 dư 1
b) p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3 vậy p2 chia cho 3 dư 1
tức p2 = 3k + 1 do đó p2 + 2015 = 3k + 1 + 2015 = 3k + 2016 ⋮ 3. Vậy p2 + 2015 là hợp số.
Bài 20: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều viết được dưới dạng 4n + 1 hoặc 4n + 3, n là số tự nhiên
(HD: mọi số tự nhiên m đều có thể viết được dưới một trong các dạng số sau 4k, 4k + 1, 4k + 24k + 3 với k∈N. Các dạng số 4k, 4k + 2 là các hợp số (loại)
Vậy chỉ còn các số 4k + 1, 4k + 3
Bài 21: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng 6n + 1 hoặc 6n+ 5, n là số tự nhiên
Bài 22: Tìm các số tự nhiên k sao cho 7k và 11k đều là số nguyên tố.
(HD với k = 0, 1, k≥2)
Bài 23: Tìm chữ số a sao cho $\overline{aaa}$ là tổng của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến số n nào đó.
HD: ta có $1+2+3+...+n=\overline{aaa}\Leftrightarrow \frac{n\left( n+1 \right)}{2}=3.37.a\Leftrightarrow n\left( n+1 \right)=2.3.a.37$
Vì 6≤2.3.a≤54 nên để 2.3.a.37 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì 2.3.a = 38(loại) hoặc 2.3.a = 36 => a = 6 khi đó n = 36
Thử lại ta có 1 + 2 + 3 +..... + 36 = 666
Vậy a = 6.
