Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Như chúng ta đã biết, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng như sau:

Với hai dãy số thực (a₁,a₂,...,a_m) và (b₁,b₂,...,b_m) ta luôn có bất đẳng thức sau:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 

 Nó cũng có một số hệ quả:
1, Bất đẳng thức Schwarz:

Với hai dãy số thực (a₁,a₂,...,a_m) và (b₁,b₂,...,b_m) sao cho b_i≥0 ta luôn có bất đẳng thức:

2, Bất đẳng thức Minkovsky:
Với 2 dãy số thực (a₁,a₂,...,a_m) và (b1,b₂,...,b_m) ta có:

3, Với mọi dãy số thực (a₁,a₂,...,a_m) ta có:

Đây là một bất đẳng thức rất thông dụng với các bạn THCS và hay được dùng trong các kì thi. 

Tiếp theo là một kĩ thuật cũng rất quan trọng trong việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là kĩ thuật chọn điểm rơi trong Cauchy- Schwarz 
Bài toán: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c≥6 Tìm min: 

Sai lầm thường gặp:

Nguyên nhân:

Phân tích:
Ta có thể sử dụng bđt Cauchy-Schwarz cho 2 số: 

 để phá bỏ dấu căn thức

Do đó ta sẽ phải tìm α và β sao cho:

Cộng lại ta đc:    

Do S là một biểu thức đối xứng nên ta dự S=S₀ tại điểm rơi a=b=c=2 và đẳng thức phải xảy ra đồng thời tại các BĐT (1),(2) và (3)
Ta có sơ đồ điểm rơi sau:

Sau đây là một số bài tập ứng dụng

1)CMR

 với mọi a,b,c $\epsilon$ (0;1)

2) Tìm MIN

 với 

3) Cho a,b,c,d dương và abcd=1. CMR

4) Cho các số a,b,c,d,e,f dương. CMR:

5) Tìm min:

6) Cho các số thực dương a,b,c thỏa abc=2

CMR: 

7) Cho các số thực dương a,b,c thỏa: a+b+c+abc=4

CMR: 

Hướng dẫn giải một số bài:

1) Từ a+b+c+abc=4⇒a+b+c≥ab+bc+ac

Mà 

2) Ta có 

Lại có  = > đpcm

3) Đặt S=a+b+c+d+1 Ta có:

Mà 

=> 

4)  Ta có VT = 

Gọi S là mẫu số ta lại có

=> ĐPCM

Bài viết gợi ý: