GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 8:

+ Bước 1: Lập phương trình.

- Chọn ẩn và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn (ghi rõ đơn vị của ẩn)

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn.

- Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập phương trình.

+ Bước 2: Giải phương trình

+ Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả và trả lời.

- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ax² + bx + c = 0 (a\[\ne \]0)

\[\Delta \] = b² - 4ac

+ Nếu \[\Delta \]> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

x₁ = \[\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\]; x₂ = \[\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\]

+ Nếu \[\Delta \]= 0 thì phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ = - \[\frac{b}{2a}\]

+ Nếu \[\Delta \]< 0 thì phương trình vô nghiệm

- Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai: ax² + bx + c = 0 (a\[\ne \]0)

b = 2b' ;\[\Delta \]' = b'² - ac

+ Nếu \[\Delta \]' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

x₁ = \[\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}\]; x₂ = \[\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}\]

+ Nếu \[\Delta \]'= 0 thì phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ = - \[\frac{b'}{a}\]

+ Nếu \[\Delta \]'< 0 thì phương trình vô nghiệm

Trường hợp đặc biệt:

+ Nếu a + b + c = 0 phương trình có nghiệm: x₁ = 1; x₂ = \[\frac{c}{a}\]

+ Nếu a - b + c = 0 phương trình có nghiệm:x₁ = -1; x₂ = -\[\frac{c}{a}\]

2. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

+ Bước 1: Lập hệ phương trình

- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn ( ghi rõ đơn vị của ẩn).

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

- Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập hệ phương trình.

+ Bước 2: Giải hệ phương trình :

Cách 1: Bằng phương pháp thế:

Biểu thị một ẩn (giả sử x) theo ẩn kia từ một trong hai phương trình của hệ.
Thay biểu thức của x vào phương trình kia rồi tìm giá trị của y.
Thay giá trị của y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm giá trị của x.

Cách 2: Bằng phương pháp cộng đại số:

Biến đổi để các hệ số của một ẩn (giả sử x) có giá trị tuyệt đối bằng nhau.
Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình để khử ẩn x.
Giải phương trình tìm được có một ẩn y, và tìm y.
Thay giá trị y vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm giá trị của x.
Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

+ Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả thích hợp và trả lời

3. Kiến thức liên quan:

*Dạng toán về số -chữ số

Số bị chia = (số chia) x (thương) + (số dư); (Số dư < số chia)

Nếu a là chữ số hàng chục, b là chữ số hàng đơn vị thì \[\overline{ab}\] = 10a + b

Với a, b N và 1\[\le \] a \[\le \] 9 ; 0 ≤ b \[\le \] 9

*Dạng toán chuyển động:

*Dạng toán năng suất:

Cần phải “Phiên dịch ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số”, tức là cần biểu thị các đại lượng trong bài toán theo ẩn và các số đã biết rồi thiết lập hệ phương trình diễn đạt sự tương quan giữa các đại lượng trong bài toán.

Để làm tốt công việc “phiên dịch” này, hãy chú ý đến các công thức có liên quan đến bài toán như:

Sản lượng = Năng suất \[\times \] Thời gian

+Dạng bài toán làm chung, làm riêng thường phải phân tích được:

- Năng suất làm riêng được một phần của công việc .

- Thiết lập phương trình khi làm riêng công việc

- Thiết lập phương trình khi làm chung công việc

+Dạng bài toán năng suất liên quan đến phần trăm:

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài tập 1: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và dư là 124.

Giải:

Gọi số lớn hơn là x và số nhỏ là y

Theo đề bài tổng hai số bằng 1006 nên ta có phương trình : x + y= 1006 (1)

Vì lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 dư là 124 nên ta có phương trình: x = 2y + 124 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được:

Vậy số lớn là 712; số nhỏ là 294.

Bài tập 2: Một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì ta được một số mới lớn hơn số đã cho là 63. Biết tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99.

Giải:

Gọi chữ số hàng chục là x và chữ số hàng đơn vị là y

Theo đề bài ta có số đã cho là :

Đổi chỗ hai chữ số cho nhau, ta được số mới là :

Nếu đổi chỗ hai chữ số ban đầu thì ta được một số mới lớn hơn số ban đầu là 63 nên ta có:

(10y + x) - (10x + y) = 63 (1)

Biết tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99 nên ta có:

(10x + y) + (10y + x) = 99 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được:

Vậy số đã cho là 18.

Bài tập 3: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.

Giải

Gọi số tự nhiên nhỏ là x; x\[\in \] N^*, thì số tự nhiên liền sau là x + 1.

Tích của hai số là: x(x+1), tổng của hai số là: 2x+1

Theo bài ra ta có phương trình:

x(x+1) - (2x+1) = 109 \[\Leftrightarrow \]x² - x - 110 = 0

Giải phương trình ta được x₁ = 11 (TMĐK); x₂ = -10 (loại)

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12.

Bài tập 4: Cho một số có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng 10, tích của hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho?

Giải

Gọi chữ số hàng chục của số đã cho là x

Chữ số hàng đơn vị là 10 - x .

Giá trị của số đã cho là 10x +10 - x = 9x +10

Theo bài ra ta có phương trình: x(10 - x) = 9x + 10 -12

\[\Leftrightarrow \] x² - x - 2 = 0

Giải phương trình ta được x₁ = 2 (TMĐK); x₂ = -1 (loại)

Ta có chữ số hàng chục là 2, chữ số hàng đơn vị là 8.

Vậy số phải tìm là 28.

Bài tập 5: Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô tại A.

Giải:

Gọi x km) là độ dài quãng đường AB ( x > 3)

Thời gian dự định để đi đến B lúc 12h trưa là y (h), ( y >1 )

Nếu xe chạy với vận tốc 35 (km/h) thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định, ta có phương trình:

x = 35(y+2) (1)

Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1giờ so với dự định ta có phương trình:

x = 50(y - 1) (2)

Vậy quãng đường AB là 350 km và thời điểm xuất phát của ô tô tại A là:12 - 8 = 4 (h)

Bài tập 6:Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh, cách nhau 150 km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5km/h và vận tốc của ô tô B giảm đi 5km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc của ô tô B.

Giải:

Gọi vận tốc của ô tô A là x (km/h), (x > 5)

vận tốc của ô tô B là y (km/h), ( y > 5)

Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh, cách nhau 150 km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ ta có phương trình: 2x + 2y = 150(1)

Vận tốc của ô tô A sau khi tăng thêm 5km/h là: x + 5 (km/h)

Vận tốc của ô tô B sau khi giảm 5km/h là : y - 5 (km/h)

Vì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc của ô tô B nên ta có phương trình:

x + 5 = 2(y- 5) x - 2y = - 15 (2)

Bài tập 7: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đên sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu.

Hướng dẫn:

Gọi x (h) là thời gian dự định đi lúc đầu ( x > 0)

y (km) là độ dài quãng đường AB ( y > 0)

Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến chậm mất 2 giờ, ta được:

Vậy quãng đường AB bằng 350 km và thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ.

Bài tập 8: Lúc 7 giờ một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 40 km/h. Sau đó, lúc 8 giờ 30 phút, một người khác cũng đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 60km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ?

Giải:

Đổi 8giờ 30 phút = 8\[\frac{1}{2}\](giờ)

Gọi x (h) là thời gian hai người gặp nhau (ĐK: x > \[\frac{17}{2}\] )

Gọi y (km) là quãng đường từ A tới điểm gặp nhau (ĐK: y > 0 )

Với giả thiết:

Bài tập 9: Một chiếc ca nô dự định đi từ A đến B trong một thời gian dự định, nếu vận tốc ca nô tăng 3 km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ, nếu vận tốc ca nô giảm 3 km/h thì đến B chậm hơn 3 giờ. Tính chiều dài khúc sông AB.

Giải

Gọi vận tốc dự định của ca nô đi từ A đến B là x (km/h), (x >3)

Thời gian dự định đi từ A đến B là y (h); (y > 2)

Chiều dài khúc sông AB là xy (km)

Nếu vận tốc ca nô tăng 3 km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ so với dự định nên ta có phương trình:

(x +3)(y -2) = xy (1)

Nếu vận tốc ca nô giảm 3 km/h thì đến B chậm hơn 3 giờ so với dự định nên ta có phương trình:

(x -3)(y +3) = xy (2)

Bài tập 10: Một xe ô tô đi từ A đến B dài 120 km trong một thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 (km/h) nên xe đến B sớm 12 phút so với dự định . Tính vận tốc ban đầu của xe.

Giải:

Bài tập 11: Một đoàn xe vận tải dự định điều số xe cùng loại để vận chuyển 100 tấn hàng, lúc sắp khởi hành đoàn xe được giao thêm 44 tấn nữa. Do đó phải điều thêm hai xe cùng loại, và mỗi xe phải chở thêm 2 tấn nữa. Tính số xe phải điều theo dự định.

Bài giải :

Bài tập 12: Một ca nô xuôi dòng 45 km rồi ngược dòng 18km. Biết rằng thời gian xuôi lâu hơn thời gian ngược là 1 giờ và vận tốc xuôi lớn hơn tốc ngược là 6km/h. Tính vận tốc ca nô lúc ngược dòng.

Giải:

Bài tập 13: Một ô tô chuyển động đều với vận tốc đã dự định để đi hết quãng đường 120km trong một thời gian đã định. Đi được một nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên quãng còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên đường.

Giải:

Bài tập 14: Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?

Giải

Gọi x (ngày) là số ngày để đội A làm một mình hoàn thành toàn bộ công việc, y (ngày) là số ngày để đội B làm một mình hoàn thành toàn bộ công việc (Điều kiện x, y > 24).

Mỗi ngày:

Bài tập 15: Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình đội II làm việc, do cải tiến cách làm năng suất của đội hai tăng gấp đôi, nên họ đã làm xong phần vịêc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên.

Gọi thời gian đội I làm một mình (với năng suất ban đầu) để hoàn thành công việc là x(ngày), ( x > 12)

Thời gian đội II làm một mình (với năng suất ban đầu) để hoàn thành công việc là y (ngày), (y > 12)

Bài tập 16.Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong (vôi vữa và gạch có công nhân khác vận chuyển). Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người xây được bức tường. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xây xong bức tường?

Hướng dẫn

Gọi x( giờ) là thời gian người thứ nhất xây một mình xong bức tường, y( giờ) là thời gian người thứ hai xây một mình xong bức tường ( ĐK x > 0 ; y > 0)

Bài tập 16: Trong tháng 3 hai tổ trồng được 720 cây xanh. Trong tháng 4, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên trồng được 819 cây xanh. Tính xem trong tháng 3 mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây xanh.

Bài tập 17: Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi năm ngoái mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?

Bài tập 18: Hai máy cày có công suất khác nhau cùng nhau làm việc, hai máy cày đã cày được \[\frac{1}{6}\] cánh đồng trong 15 giờ. Nếu máy thứ nhất làm một mình trong 12 giờ, máy thứ hai làm một mình trong 20 giờ thì cả hai sẽ cày được 20% cánh đồng. Hỏi nếu mỗi máy làm việc riêng thì có thể cày xong cánh đồng?

Gọi thời gian máy thứ nhất cày một mình xong cánh đồng là x (h);

thời gian máy thứ hai cày một mình xong cánh đồng là y (h); (ĐK: x, y > 20)

Hai máy cày đã cùng cày cánh đồng trong 15 giờ, nên một giờ máy thứ nhất cày được là :

Vậy máy cày thứ nhất làm một mình mất 300 giờ ; máy cày thứ hai làm một mình mất 200 giờ.

Bài tập 19: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ . Thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên 1 ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn ?

Bài tập 20: Hai cần cẩu lớn bốc dỡ một lô hàng ở cảng Sài Gòn. Sau 3 giờ có thêm 5 cần cẩu bé (công suất nhỏ hơn) cùng làm việc. Cả 7 cần cẩu làm việc một mình thì bao lâu xong việc, biết rằng nếu cả 7 cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong 4 giờ xong việc.

Bài tập 20:Một công nhân phải hoàn thành 50 sản phẩm trong một thời gian quy định. Do tăng năng xuất 5 sản phẩm mỗi giờ nên người ấy đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 giờ 40 phút. Tính số sản phẩm mỗi giờ phải làm theo dự định.

Giải

Gọi số sản phẩm mỗi giờ phải làm theo dự định là x (sản phẩm) (ĐK: x nguyên, dương).

Giải phương trình trên ta được: x₁ = 10(TMĐK); x₂ = -15(loại)

Vậy số sản phẩm mỗi giờ phải làm theo dự định là 10 (sản phẩm)

Bài tập 21:Muốn làm xong một công việc cần 480 công thợ. Người ta có thể thuê một trong hai nhóm thợ A hoặc B. Biết nhóm A ít hơn nhóm B là 4 người và nếu giao cho nhóm B thì công việc hoàn thành sớm hơn 10 ngày so với nhóm A. Hỏi số người của mỗi nhóm ?

Giải:

Gọi số người của nhóm A là x (người) (4

Suy ra số người của nhóm B là: x + 4 (người).

Với giả thiết:

Giải phương trình ta được: x = 12 (TMĐK); x = -16 (loại).

Vậy nhóm A có 12 người. Nhóm B có 16 người.

Bài tập 22. Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng chiều dài, nếu giảm chiều dài 1m, tăng chiều rộng 1m thì diện tích hình chữ nhật là 200m². Tính chu vi, diện tích hình chữ nhật ban đầu?