TOÁN 9: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ

ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG - ĐƯỜNG ĐI QUA ĐIỂM

Bài toán: Cho (C) là đồ thị hàm số y = f(x) và một điểm A(x_A ; y_A). Hỏi (C) có đi qua A không

Phương pháp giải:

Đồ thị (C) đi qua A(x_A ; y_A) khi và chỉ khi toạ độ của A nghiệm đúng phương trình của (C)

- A \[\in \] (C) \[\Leftrightarrow \] y_A = f(x_A)

Do đ ó : Tính y_A = f(x_A)

N ếu f(x_A) = y_Ath ì (C) đi qua A
N ếu f(x_A) \[\ne \] y_A thì (C) không đi qua A

LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

BÀI TOÁN 1:

Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm A(x_A;y_A) và có hệ số góc bằng k

Cách giải:

- Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là:

y = ax + b (*)

+ Xác định a:

Theo giả thiết ta có : a = k => y = kx + b

+ Xác định b:

(D) đi qua A(x_A ; y_A) ó y_A = kx_A + b => b = y_A – kx_A

Thay a = k và b = y_A – kx_A vào (*) ta được phương trình của (D)

BÀI TOÁN 2:

Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua 2 điểm A(x_A; y_A) và B(x_B ; y_B)

Cách giải:

- phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là :

y = ax + b

(D) đi qua A và B nên ta có :

Giải hệ phương trình tìm được a, b . Suy ra phương trình của (D)

BÀI TOÁN 3 :

Lập phương trình của đường thẳng (D) có hệ số góc k và tiếp xúc với đường cong (P) :

y = f(x)

Cách giải :

Phương trình của (D) có dạng : y = ax + b
Phương trình hoành độ giáo điểm của (D) và (P) là :

f(x) = kx + b (1)

(D) tiếp xúc với (P) ó phương trình (1) có nghiệm kép ó \[\Delta \] = 0

Từ điều kiện này tìm được b .Suy ra hương trình của (D)

BÀI TOÁN 4 :

Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua A(x_A ; y_A) và tiếp xúc với đường cong (P) :

y = f(x) .

Cách giải :

- Phương trình đường thẳng của (D) là : y = ax + b

- Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là :

f (x) = ax + b (1)

(D) tiếp xúc với (P) ó phương trình (1) có nghiệm kép.Từ điều kiện này tìm ra được hệ thức giữa a và b (2)

Mặt khác : (D) đi qua A(x_A ; y_A) do đó ta có :

y_A = ax_A + b (3)

Từ (2) và (3) suy ra a và b suy ra phương trình của (D)

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Bài toán : Cho (C ) và (L) theo thứ tự là đồ thị của các hàm số:

y = f(x)

y = g(x)

Khảo sát sự tương giao của hai đồ thị.

Cách giải:

Toạ độ giao điểm của (C ) và (L) là nghiệm của hệ phương trình

Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và (L) là:

f(x) = g(x) (1)

Nếu (1) vô nghiệm ó (I) vô nghiệm ó (C) và (L) không có điểm chung
Nếu (1) có nghiệm kép ó (I) có nghiệm kép ó (C) và (L) tiếp xúc nhau
Nếu (1) có 1 nghiệm hoặc 2 nghiệm ó (I) có 1 hoặc 2 nghiệm ó (C) và (L) có 1 hoặc hai điểm chung.

BÀI TẬP

Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm A (-2 ; 2 ) và đường thẳng (D) : y = - 2(x + 1)

Hỏi điểm A có thuộc (D) không
Tìm a trong hàm số y = ax² có đò thị (P) đi qua A

Giải:

a)Thay x = -2 vào vế phải của phương trình đường thẳng (D) ta có : y = -2(-2 + 1) = 2

Vậy điểm A(-2 ; 2) có thuộc đường thẳng (D)

b) Vì đồ thị (P) đi qua A nên ta có : 2 = a (-2)² => a = \[\frac{1}{2}\]

Bài 2 : Cho parabol (P): y = x² .Lập phương trình đường thẳng (D) song song với đường thẳng (D^/ ) : y = 2x và tiếp xúc với (P)

Giải:

Phương trình đường thẳng (D) cần tìm có dạng: y = ax + b

Đường thẳng (D) song song với đường thẳng (D^/) nên a = 2 => y = 2x + b

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (D) và parabol (P) là:

x² = 2x + b \[\Leftrightarrow \] x² – 2x – b = 0 (1)

(D) tiếp xúc với (P) \[\Leftrightarrow \] phương trình (1) có nghiệm kép\[\Leftrightarrow \] \[{{\Delta }^{/}}\] = 0 \[\Leftrightarrow \] 1 + b = 0 => b = -1

Vậy phương trình đường thẳng (D) là: y = 2x - 1

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ cho 2 đường thẳng (d₁) : y = 2x – 7 và (d₂): y = - x- 1

Vẽ đường thẳng (d₁) và (d₂)
Tìm toạ độ giao điểm của (d₁) và (d₂) bằng đồ thị. Rồi kiểm tra lại bằng phép tính

Giải:

HS tự vẽ
Gọi giao điểm của (d₁) và (d₂) là M khi đó hoành độ của điểm m là nghiệm của phương trình: 2x – 7 = - x- 1 \[\Leftrightarrow \] x = 2

Tung độ của điểm M là y = - 2 – 1 = - 3

Vậy toạ độ giao điểm của (d₁) và (d₂) l à : M(2 ;-3)

Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ cho hai điểm A(0; - 1) và B( 1; 2)

Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B
Điểm C(- 1;- 4) có nằm trên đường thẳng đó không

Giải:

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (D) : y = ax + b

Đường thẳng (D) đi qua A và B nên ta có :

Giải hệ phương trình ta được : a = 3 ; b = -1

Vậy phương trình đường thẳng cần tìn là (D) : y = 3x – 1

Với x = -1 thì y = 3(-1) – 1 = - 4 .Do đó điểm C(- 1;- 4) nằm trên đường thẳng (D)

Bài 5: Với giá trị nào của m thì đường thẳng :

(d₁) : y = (m – 1)x ; (d₂) : y = 3x – 1

song song với nhau
Cắt nhau
Vuông góc với nhau

Gi ải:

(d₁) // (d₂) \[\Leftrightarrow \] m – 1 = 3 \[\Leftrightarrow \] m = 4
(d₁) cắt (d₂) \[\Leftrightarrow \] m – 1 \[\ne \] 3 \[\Leftrightarrow \] m \[\ne \]4
(d₁) vuông góc (d₂) \[\Leftrightarrow \] (m – 1).3 = -1 \[\Leftrightarrow \] m = \[\frac{2}{3}\]

Bài 6: Tìm giá trị của a để 3 đường thẳng : (d₁): y = 2x – 5 ; (d₂) : y = x +2

(d₃) : y = ax – 12 . Đồng quy tại 1 điểm

Giải:

Ta thấy hai đường thẳng (d₁) v à (d₂) có hệ số góc khác nhau nên (d₁) và (d₂) chắc chắn cắt nhau. Gọi giao điểm của (d₁) và (d₂) l à M

Hoành độ của điểm M là nghiệm của phương trình : 2x – 5 = x +2 => x = 7

Tung độ của M là y = 7 + 2 = 9 .Do đó M( 7 ; 9)

Đ ể 3 đ ường thẳng trên đồng quy tại 1 điểm thì dường thẳng (d₃) phải đi qua điểm M(7 ;9)

\[\Leftrightarrow \] 9 = a.7 – 12 \[\Leftrightarrow \] a = 3

Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A( - 2;2) và đường thẳng (d₁): y = -2(x+1)

Giải thích tại sao A nằm trên (d₁)
Tìm a trong hàm số y = ax² có đồ thị(P) đi qua A
Viết phương trình đường thẳng (d₂) qua A và vuông góc với (d₁)
Gọi A và B là giao điểm của (P) và (d₂); C là giao điểm của (d₁) với trục tung .Tìm toạ độ giao điểm của B và C .Tính diện tích tam giác ABC

Giải:

Câu 1) 2) xem bài 1

3) Gọi phương trình đường thẳng (d₂) là : y = ax + b

Vì đường thẳng (d₂) vuông góc với (d₁) => a.(-2) = -1 => a = \[\frac{1}{2}\]

Mặt khác đường thẳng (d₂) đi qua điểm A(- 2 ; 2) nên ta có x = -2 , y = 2

Thay a = \[\frac{1}{2}\] ; x = -2 ; y = 2 vào y = ax + b ta có : 2 = \[\frac{1}{2}\](-2) + b => b = 3

Vậy phương trình đường thẳng (d₂) là : y = \[\frac{1}{2}\]x + 3

Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình : \[\frac{1}{2}\]x² = \[\frac{1}{2}\]x + 3 .giải phương trình này ta được x₁ = 2 ( chính là hoành độ của điểm A) x₂ = 3 là hoành độ điểm B.Khi đó tung độ điểm B là y = \[\frac{1}{2}\].3² = \[\frac{9}{2}\].Vậy toạ độ của điểm B( 3 ; \[\frac{9}{2}\])

Toạ độ C(0 ; - 2)

Ta có AB = \[\sqrt{{{(-2-3)}^{2}}+{{(2-\frac{9}{2})}^{2}}}\] = \[\sqrt{25+\frac{25}{4}}\] = \[\sqrt{\frac{125}{4}}\] = \[\frac{5}{2}\sqrt{5}\]

AC = \[\sqrt{{{(-2-0)}^{2}}+{{(2+2)}^{2}}}\] = \[\sqrt{20}\] = 2\[\sqrt{5}\]

S_ABC = \[\frac{1}{2}\]AB.AC = \[\frac{1}{2}\].\[\frac{5}{2}\sqrt{5}\].2\[\sqrt{5}\] = \[\frac{25}{2}\] (đvdt)

Bài 8 : Trong cùng hệ trục toạ độ , gọi (P) là đồ thị hàm số y = x² và (D) là đồ thị hàm số

y = - x + 2

a) Vẽ (P) và (D)

b) Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (D) bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phép tính.

c) Tìm a và b trong hàm số y = ax + b, biết rằng đồ thị (d^/) của hàm số này song song với (D) và cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng – 1

Giải:

a) Vẽ (P) và (D):

b)Dựa vào đồ thị ta có A( 2;4) , B( 1 ;2) .Kiểm tra bằng cách thay toạ độ của các điểm A và B vào 2 hàm số ta thấy đều thoả mãn.

c) Đường thẳng (d^/) song song với đường thẳng (D) nên a = -1. Mặt khác (d^/) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng -1 ,tức là (d^/) đi qua điểm (-1; 1) => x = -1 , y = 1

Thay a = -1 . x = -1 , y = 1 vào phương trình của đường thẳng (d^/) ta có :

1 = (-1)(-1) + b => b = 0

Vậy phương trình của đường thẳng (d^/) là : y = - x

Bài 9: Cho hàm số : y = - \[\frac{1}{2}\]x² (P)

Vẽ đồ thị (P)
Tìm giá trị của m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị (P) tại 2 điểm phân biệt .

Giải :

a)Lập bảng giá trị :

c) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (D) : y = 2x + m và parabol(P) là : - \[\frac{1}{2}\] x² = 2x + m \[\Leftrightarrow \] x² + 4x + 2m = 0 (1)

Để (D) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt \[\Leftrightarrow \] phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

\[\Leftrightarrow \] \[{\Delta }'\] > 0 \[\Leftrightarrow \] 4 – 2m > 0 \[\Leftrightarrow \] m < 2

Vậy với m < 2 thì đường thẳng (D) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Bài 10 : Trên cùng hệ trục toạ độ cho đường thẳng (D) và parabol (P) có phương trình :

(D) : y = k(x -1)

(P) : y = x²- 3 x + 2

a) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của k , (D) và (P) luôn có điểm chung

b) Trong trường hợp (D) tiếp xúc với (P) .Tìm toạ độ tiếp điểm.

Giải:

a)Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là:

x² – 3x + 2 = k(x -1) \[\Leftrightarrow \] x² – (3+ k)x +2 + k = 0 (1)

Phương trình (1) có : \[\Delta \] = ( 3 + k)² – 4 ( 2 + k) = 9 + 6k + k² – 8 – 4k = k² + 2k + 1

= (k + 1)² \[\ge \] 0 với mọi k

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi k .Do đó đường thẳng (D) và parabol (P) luôn có điểm chung

b) (D) tiếp xúc với (P) \[\Leftrightarrow \] phương trình (1) có nghiệm kép \[\Leftrightarrow \] \[\Delta \] = 0 \[\Leftrightarrow \] (k + 1)² = 0

\[\Leftrightarrow \] k = - 1 ,Khi đó phương trình (1) có nghiệm là x = \[\frac{3+k}{2}\] = \[\frac{3-1}{2}\] = 1 (Đây chính là hoành độ giao điểm của (D) và (P) ).Tung độ giao điểm là: y = 0

Vậy toạ độ tiếp điểm là : (1 ;0 )

Bài 11: Cho hàm số y = ax² có đồ thị (P) đi qua điểm A(-2;4) và tiếp xúc với đường thẳng (D) của hàm số : y = (m-1)x – (m – 1)

Tìm a , m và toạ độ tiếp điểm.
Vẽ đồ thị (P) và (D) với a , m tìm được trên cùng hệ trục toạ độ.

Giải:

Đồ thị (P) đi qua điểm A(-2; 4) nên ta có : 4 = a.(-2)² => a = 1 => (P) : y = x²

Đề (P) tiếp xúc với (D) thì phương trình : (m -1)x – (m -1) = x² có nghiệm kép

*)Với m = 1 => x = \[\frac{m-1}{2}\] = \[\frac{1-1}{2}\] = 0 (đây là hoành độ tiếp điểm) , tung độ tiếp điểm là: y = 0.Vậy toạ độ tiếp điểm thứ là : (0 ; 0 ) Chính là gốc toạ độ. Khi đó đường thẳng (D) trùng với trục hoành Ox

*) Với m = 5 => x = \[\frac{m-1}{2}\] = \[\frac{5-1}{2}\]= 2 (là hoành độ tiếp điểm ) ,tung độ tiếp điểm là:

y = 4 . Vậy toạ độ tiếp điểm thứ 2 là : ( 2 ; 4)

b) Ta vẽ đồ thị hàm số : y = x² .

Khi m = 1 đường thẳng (D) trùng với trục hoành

Khi m = 5 đường thẳng (D) có phương trình là : y = 4x – 4

Có đồ thị như sau :

Bài 12: Trên cùng hệ trục toạ độ cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (D) : y = 2x + m

Vẽ P.
Tìm m để (D) tiếp xúc với (P)

(Hướng dẫn : xem bài 11)

Bài 13: Trong cùng hệ trục toạ độ gọi (P) và (D) lần lượt là đồ thị hàm số :

y = - \[\frac{{{x}^{2}}}{4}\] và y = x + 1

a) Vẽ (P) và (D)

b) Dùng đồ thị hàm số để giải phương trình : x² + 4x + 4 = 0

c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với (D) và cắt (P) tại điểm có tung độ là – 4

Giải:

a) Vẽ (P) và (D):

c)Phương trình : x² + 4x + 4 = 0 (1) \[\Leftrightarrow \] - x² = 4x + 4 \[\Leftrightarrow \] -\[\frac{{{x}^{2}}}{4}\] = x + 1

Đặt y = - \[\frac{{{x}^{2}}}{4}\] => y = x + 1 là hai đồ thị hàm số đã vẽ ở câu a) Do đó nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giáo điểm của 2 đồ thi trên. Dựa vào đồ thị ta có: Hai đồ thị tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ là – 2 .Nên nghiệm của phương trình đã cho là x = -2

Gọi phương trình đường thẳng ( cần tìm là : y = ax + b

Vì (d) // (D) => a = 1

Vì (d) cắt (P) tại điểm có tung độ bằng – 4 => hoành độ của đó là : x = 4 .Tức là đường thẳng (d) đi qua điểm ( 4; - 4 ) nên ta có :

- 4 = 1. 4 + b => b = - 8.Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = x – 8.

Bài 14: Cho hàm số : y = x² và y = x + m

Tìm m sao cho đồ thị (P) của y = x² và độ thị (D) của y = x + m có 2 giao điểm phân biệt A và B
Tìm phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (D) tiếp xúc với (P)
Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai giao điểm theo toạ độ của 2 điểm ấy. Áp dụng : Tìm m sao cho khoảng cách giữa 2 điểm A và B ở câu a) là 3\[\sqrt{2}\]

Giải :

Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là :

x² = x + m \[\Leftrightarrow \] x² – x – m = 0 (1)

(D) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt\[\Leftrightarrow \] phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

\[\Leftrightarrow \] \[\Delta \] > 0 \[\Leftrightarrow \] (-1)² – 4.1.(-m) > 0 \[\Leftrightarrow \] 1 + 4m > 0 \[\Leftrightarrow \] m > - \[\frac{1}{4}\]

Gọi phương trình đường thẳng (d) cần tìm : y = ax + b

Vì (d ) \[\bot \] (D) => a.1 = -1 => a = -1 => y = -x + b

Phương trình hoành độ giáo điểm của (d) và (P) là : x² = - x + b \[\Leftrightarrow \] x² + x - b = 0 (2)

Phương trình (2) có : \[\Delta \] = 1 + 4b

(d) tiếp xúc (P) \[\Leftrightarrow \] phương trình (2) có nghiệm kép\[\Leftrightarrow \] \[\Delta \] = 1 + 4b = 0 => b = - \[\frac{1}{4}\]

Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là : y = - x - \[\frac{1}{4}\]

Giả sử A(x_A;y_A) và B(x_B; y_B) (Hình vẽ)

Khoảng cách giữa hai điểm x_A , x_B trên trục Ox bằng \[\left| {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right|\].Khoảng cách giữa hai điểm y_A , y_B trên trục Oy bằng \[\left| {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right|\]

Trong tam giác vuông ABC ta có : AB² = AC² + BC² = ( x_B – x_A)² + (y_B– y_A )

=> AB = \[\sqrt{{{({{x}_{B}}-{{x}_{A}})}^{2}}+{{({{y}_{B}}-{{y}_{A}})}^{2}}}\]

Theo câu a) ta có : Với m > - \[\frac{1}{4}\] phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt là:

x₁ = \[\frac{1+\sqrt{1+4m}}{2}\] ; x₂ = \[\frac{1-\sqrt{1+4m}}{2}\]

Với x₁ = \[\frac{1+\sqrt{1+4m}}{2}\] => y₁ = \[\frac{1+\sqrt{1+4m}+2m}{2}\]

x₂ = \[\frac{1-\sqrt{1+4m}}{2}\] => y₂ = \[\frac{1-\sqrt{1+4m}+2m}{2}\]

Gọi A(\[\frac{1+\sqrt{1+4m}}{2}\] ; \[\frac{1+\sqrt{1+4m}+2m}{2}\]) và B(\[\frac{1-\sqrt{1+4m}}{2}\] ; \[\frac{1-\sqrt{1+4m}+2m}{2}\] )

Áp dụng công thức trên ta có :

AB = \[\sqrt{{{\left( \frac{1+\sqrt{1+4m}}{2}-\frac{1-\sqrt{1+4m}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1+\sqrt{1+4m}+2m}{2}-\frac{1-\sqrt{1+4m}+2m}{2} \right)}^{2}}}\]

= \[\sqrt{{{\left( \frac{2\sqrt{1+4m}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2\sqrt{1+4m}}{2} \right)}^{2}}}\] = \[\sqrt{1+4m+1+4m}\] = \[\sqrt{2+8m}\]

AB = 3\[\sqrt{2}\] \[\Leftrightarrow \] \[\sqrt{2+8m}\] = 3\[\sqrt{2}\] \[\Leftrightarrow \] 2+ 8m = 18 \[\Leftrightarrow \]m = 2

Trả lời : m = 2 là giá trị cần tìm

Bài 15 : Trong cùng hệ trục toạ độ , gọi (P) là đồ thị hàm số : y = \[\frac{1}{4}\]x² ,

(D) là đồ thị hàm số :y = \[\frac{1}{2}\]x + 2

a) Vẽ (D) và (P)

b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (D) bằng đồ thị và bằng phép toán

Giải:

a)Vẽ (D) và (P)

b) Dựa vào đồ thị ta có đường thẳng (D) cắt parabol (P) tại hai điểm M(-2 ; 1) và N(4 ; 4)

Kiểm tra bằng phép tính :

Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là :

\[\frac{1}{4}\]x² = \[\frac{1}{2}\]x + 2 \[\Leftrightarrow \] x² – 2x – 8 = 0 (1)

Có : \[{\Delta }'\] = 1 + 8 = 9 => \[\sqrt{{{\Delta }'}}\] = 3 => phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt :

x₁ = 1 – 3 = - 2 ; x₂ = 1 + 3 = 4

Do đó đường thẳng (D) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt ,có hoành độ giao điểm lần lượt là -2 , 4

Với x₁ = - 2 => y₁ = \[\frac{1}{4}\](-2)² = 1 => M(-2 ; 1)

Với x₂ = 4 => y₂ = \[\frac{1}{4}\]. 4² = 4 => N( 4 ; 4)

Bài 16: Cho parabol (P) : y = -\[\frac{{{x}^{2}}}{4}\] và điểm M (1 ; -2)

Viết phương trình đường thẳng (D) qua M và có hệ số góc là m
Chứng minh rằng (D) luôn luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m thay đổi

Giải :

Phương trình đường thẳng (D) cần tìm có dạng: y = mx + b

Vì (D) đi qua M(1 ; -2) => -2 = m.1 + b => b = - m – 2

Vậy phương trình đường thẳng (D) cần tìm là : y = mx – m – 2

b)Ta có phương trình hoành độ giáo điểm của (D) và (P) là :

-\[\frac{{{x}^{2}}}{4}\] = mx – m – 2 \[\Leftrightarrow \]x² + 4mx – 4m – 8 = 0 (1)

Phương trình (1) có: \[{\Delta }'\] = 4m² + 4m + 8 = 4m² + 4m + 1 + 7

= (2m + 1)² + 7 > 0 với mọi m

Nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Do đó đường thẳng (D) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m thay đổi.

Bài 17 : Trong cùng hệ trục toạ độ vuông góc cho parabol (P) : y = - \[\frac{1}{4}\]x² và đường thẳng (D) : y = mx – 2m – 1

Vẽ (P)
Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)
Chứng tỏ (D) luôn luôn qua điểm cố định A thuộc (P)

Giải :

Tự vẽ
Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là : - \[\frac{1}{4}\]x² = mx – 2m – 1

\[\Leftrightarrow \] x² + 4mx – 8m – 4 = 0 (1)

(D) tiếp xúc với (P) \[\Leftrightarrow \] phương trình (1) có nghiệm kép \[\Leftrightarrow \]\[{\Delta }'\] = 0

\[\Leftrightarrow \] 4m² + 8m + 4 = 0 \[\Leftrightarrow \](2m + 2)² = 0 \[\Leftrightarrow \] 2m + 2 = 0 \[\Leftrightarrow \] m = -1

Vậy m = -1 thì (D) tiếp xúc với (P)

Gọi A(x₀ ; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (D) luôn đi qua

Khi đó phương trình : y₀ = mx₀ - 2m – 1 có nghiệm với mọi m

Suy ra điểm A( 2 ; -1).Thay x = 2 vào phương trình của (P) ta có y = - \[\frac{1}{4}\]. 2² = - 1

Nên điểm A(2 ; -1) thuộc (P).Vậy đường thẳng (D) luôn đi qua điểm A( 2 ; -1) cố định thuộc (P)

Bài 18 : Trên cùng hệ trục toạ độ cho parabol (P) : y = \[\frac{1}{4}\]x² và đường thẳng (D) : y = x – 1

Vẽ (P) và (D)
Chứng tỏ (bằng phép toán ) (P) và (D) tiếp xúc nhau tại 1 điểm ,xác định toạ độ điểm này.

Bài 20 : Trong cùng hệ trục toạ độ cho parabol (P) : y = \[\frac{{{x}^{2}}}{4}\] và đường thẳng (D) đi qua điểm

I(\[\frac{3}{2}\] ; -1) có hệ số góc m

Vẽ (P) và viết phương trình của (D)
Tìm M sao cho (D) tiếp xúc với (P)
Tìm m sao cho (D) và (P) có 2 điểm chung phân biệt

Bài 21 : Cho parabol (P) : y = \[\frac{1}{2}\]x² và đường thẳng y = \[\frac{1}{2}\] x + 3

Xác định toạ độ giao điểm A, B của parabol và đường thẳng
Xác định toạ độ điểm C thuộc cung AB của parabol sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất

Bài 22 : Cho hàm số : y = \[\frac{1}{2}\]x² (P)

Vẽ đồ thị hàm số trên
Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) : y = (m- 4)x + m + 1 cắt đồ thị hàm số trên tại điểm A có hoành độ bằng 2 .Rồi tìm toạ độ thứ 2 khác A
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) và parsbol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Gọi y₁ ; y₂ là tung độ giao điểm của 2 đồ thị ( và (P) . Tìm m để y₁+ y₂ đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải

a) Tự vẽ

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: \[\frac{1}{2}\]x² = (m- 4)x + m + 1

\[\Leftrightarrow \] x² – 2 (m – 4)x – 2m – 2 = 0 (*)

Vì đường thẳng (d) cắt (P) tại điểm A có hoành độ bằng 2 nên là nghiệm của phương trình (*) => 4- 2(m -4).2 – 2m – 2 = 0 \[\Leftrightarrow \]4 – 4m +16 – 2m – 2 = 0 \[\Leftrightarrow \]- 6m + 18 = 0

\[\Leftrightarrow \] m = 3

Vậy với m= 3 thì đường thẳng (d) cắt (P) tại điểm A có hoành độ bằng 2

Hoành độ giao điểm thứ 2 khác A là nghiệm thứ 2 của phương trình (*)

Theo Vi-et : x₁.x₂ = \[\frac{c}{a}\] = -2m – 2 = -2.3 – 2 = -8. Mà x₁= 2 => 2.x₂ = - 8 => x₂= - 4

Tung độ của điểm thứ hai là : y = \[\frac{1}{2}\].(-4)² = 8

Vậy toạ độ giao điểm thứ hai khác A là (- 4 ; 8)

Phương trình (*) có : \[{\Delta }'\] = (m – 4)² + 2m + 2 = m² – 6m + 18

= (m – 3)² +9 > 0 với mọi m

Suy ra điều phải chứng minh

Gọi x₁ , x₂ lần lượt là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị ( và (P) tương ứng với tung độ y₁ ; y₂

y₁ = (m -4)x₁ + m + 1

y₂ = ( m- 4)x₂ + m + 1

=> y₁ + y₂ = ( m -4) (x₁ + x₂) + 2 m + 2 = (m – 4). 2(m – 4) + 2m + 2 = 2m² – 14m + 34

= 2(m² – 7m + 17) = 2( m² - 2.\[\frac{7}{2}\]m + \[\frac{49}{4}\] + \[\frac{19}{4}\]) = 2(m -\[\frac{7}{2}\])² + \[\frac{19}{2}\] \[\ge \] \[\frac{19}{2}\]

Suy ra : Min (y₁ + y₂ ) = \[\frac{19}{2}\] khi m = \[\frac{7}{2}\]

Bài 23 :Cho đường thẳng (d) : y = 4x + m và parabol (P) : y = 2x²

Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm A , B và cắt trục tung Oy tại M . Sao cho MA = 3MB

Giải :

Xét phương trình : 2x² = 4x + m \[\Leftrightarrow \] 2x² – 4x – m = 0 (1)

(d) cắt (P) tại 2 điểm A và B \[\Leftrightarrow \] phương trình (1) có 2 nghiệm

\[\Leftrightarrow \]\[{\Delta }'\] = 4 + 2m \[\ge \] 0

\[\Leftrightarrow \] m \[\ge \] -2

Hai giao điểm là : A(x₁ ; y₁) , B(x₂ ; y₂) (ở đó x₁ , x₂ là nghiệm của phương trình (1) )

Theo giả thiết (d) trục Oy tại M sao cho MA = 3MB

Với x₂ = 3x₁ => x₁ + 3x₁ = 2 => x₁ = \[\frac{1}{2}\] => x₂ = \[\frac{3}{2}\]

=> x₁x₂ = \[\frac{-m}{2}\] \[\Leftrightarrow \] \[\frac{1}{2}\].\[\frac{3}{2}\] = \[\frac{-m}{2}\] => m = - \[\frac{3}{2}\] (Không thoả mãn điều kiện m \[\ge \] -2 )

Với x₂ = - 3x₁ => x₁ – 3x₁ = 2 => x₁ = - 1 => x₂ = 3

=> \[\frac{-m}{2}\] = x₁.x₂ = (-1) . 3 = -3 => m = 6 (Thoả mãn điều kiện m \[\ge \] -2 )

Vậy m = 6 là giá trị cần tìm