1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2) (A – B)2 = A2 – 2AB + B2
3) A2 – B2 = (A – B)(A + B)
4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5) (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
6) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Chúng ta cùng đi vào các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức nào.
Bài toán 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = x2 – 4x + 7
GIẢI.
Ta có : A = x2 – 4x + 7 = (x2 – 2.2.x + 4) + 3 = (x – 2)2 + 3
Ta luôn có : (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x.
Suy ra : (x – 2)2 + 3 ≥ 3 với mọi x.
hay A ≥ 3 với mọi x.
Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2
Nên : Amin = 3 khi x = 2
Bài toán 2 : Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi x .
B = 4x2 + 4x + 3
GIẢI.
Ta có : B = (2x)2 + 2.2x.1 + 12 + 2 = (2x + 1)2 + 2
Ta luôn có : (2x + 1)2 ≥ 0 với mọi x.
Suy ra : (2x + 1)2 + 2 ≥ 2 > 0 với mọi x.
Hay : B > 0 với mọi x.
Vậy : biểu thức B luôn dương với mọi x
Bài toán 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
C = x2 + 9y2 + 6x – 6y + 5
GIẢI.
Ta có : C = x2 + 9y2 +6x – 6y + 5
= (x2 + 2.x.3 + 9) + (9y2– 2.3y.1 +1) – 5 = (x + 3)2 + (3y – 1) 2 – 5
Mà : (x – 2)2 ≥ 0 ; (3y – 1) 2 ≥ 0 với mọi x, y.
(x – 2)2 + (3y – 1) 2 ≥ 0 với mọi x, y.
Suy ra : (x + 3)2 + (3y – 1) 2 – 5 ≥ –5 với mọi x, y.
hay : C ≥ -5 với mọi x. y.
Dấu “=” xảy ra khi : x + 3 = 0 và 3y – 1 = 0
x = -3 và y = \[\frac{1}{3}\]
Nên : Cmin = -5 khi x = -3 và y = \[\frac{1}{3}\]
