Chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng

Nhắc lại một ít lý thuyết về tam giác đồng dạng

Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường :

– Trường hợp đồng dạng 1 : 3 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau (c – c – c)

xét ∆ABC và ∆DEF, ta có :

\[\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{\text{EF}}\]

=> ∆ABC ~ ∆DEF (c – c – c)

– Trường hợp đồng dạng 2 : 2 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau – góc xen giữa hai cạnh bằng nhau(c – g – c)

xét ∆ABC và ∆DEF, ta có :

\[\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\]

\[\widehat{A}=\widehat{D}\]

=> ∆ABC ~ ∆DEF (c – g – c)

– Trường hợp đồng dạng 3 : hai góc tương ứng bằng nhau(g – g)

xét ∆ABC và ∆DEF, ta có :

\[\widehat{A}=\widehat{D}\]

\[\widehat{B}=\widehat{E}\]

=> ∆ABC ~ ∆DEF (g – g)

II. Các định lí đồng dạng của hai tam giác vuông

1. Định lí 1 : (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
   Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
   2. Định lí 2 : (hai cạnh góc vuông)
   Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
   3. Định lí 3: ( góc)
   Nếu góc nhọn của tam giác này bằng góc nhọn của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.

Dạng 1 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức :

Bài toán 1 :

cho ∆ABC (AB < AC), có AD là đường phân giác trong. Ở miền ngoài ∆ABC vẽ tia Cx sao cho \[\widehat{BCx}=\widehat{BAD}\] . Gọi I là giao điểm của Cx và AD. cmr :

a) ∆ADB đồng dạng ∆CDI.

b) \[\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AI}\]

c) AD² = AB.AC – BD.DC

Giải

a)∆ADB và ∆CDI , ta có :

\[\widehat{BCx}=\widehat{BAD}\] (gt)

\[\widehat{{{D}_{1}}}=\widehat{{{D}_{2}}}\] (đối đỉnh)

=> ∆ADB ~ ∆CDI

b) )∆ABD và ∆AIC , ta có :

\[\widehat{B}=\widehat{I}\] (∆ADB ~ ∆CDI)

\[\widehat{{{A}_{1}}}={{\widehat{A}}_{2}}\] (AD là phân giác)

=> ∆ABD ~ ∆AIC

=>\[\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AI}\]

c)=> AD.AI = AB.AC (1)

mà : \[\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{DI}\] (∆ADB ~ ∆CDI )

=> AD.DI = BD.CD (2)

từ (1) và (2) :

        AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD(AI – DI ) = AD.AD = AD²

Bài toán 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH . Chứng minh các hệ thức :

a. AB² = BH.BC và AC² = CH.BC

b. AB² +AC² = BC²

c. AH² = BH.CH

d. AH.BC = AB.AC

Giải.

Xét hai ∆ABC và ∆ HAC, ta có :

1. AC² = CH.BC :

\[\widehat{BAC}=\widehat{AHC}={{90}^{0}}\]

\[\widehat{C}\] là góc chung.

=> ∆ABC ~ ∆HAC (g – g)

=> \[\frac{AC}{HC}=\frac{BC}{AC}\]

=> AC² = CH.BC (1)

Cmtt : AB² = BH.BC (2)

2. AB² +AC² = BC²

Từ (1) và (2), ta có :

AB² +AC² = BH.BC + CH.BC = (BH + CH)BC = BC²

3.AH² = BH.CH :

Xét hai ∆HBA và ∆ HAC, ta có :

\[\widehat{BHC}=\widehat{AHC}={{90}^{0}}\]

\[\widehat{ABH}=\widehat{HAC}\] cùng phụ \[\widehat{BAH}\] 

=> ∆HBA ~ ∆HAC (g – g)

=> \[\frac{HA}{HC}=\frac{HB}{HA}\]

=> AH² = BH.CH

4. AH.BC = AB.AC :

Ta có : \[\frac{HA}{AB}=\frac{AC}{BC}\] (∆ABC ~ ∆HAC)

=> AH.BC = AB.AC.

Dạng 2 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lí Talet + hai đường thẳng song song:

Bài toán :

Cho ∆ABC nhọn. kẻ đường cao BD và CE. vẽ các đường cao DF và EG của ∆ADE. Chứng minh

a) ∆ABD đồng dạng ∆AEG.

b) AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) FG // BC

a) xét ∆ABD và ∆AEG, ta có :

\[BD\bot AC\](BD là đường cao)

\[EG\bot AC\](EG là đường cao)

=> BD // EG

=> ∆ABD ~ ∆AGE

b) => \[\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AG}\]

=> AD.AE = AB.AG (1)

cmtt, ta được : AD.AE = AC.AF (2)

từ (1) và (2) suy ra :

          AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) xét ∆ABC, ta có :

AB.AG = AC.AF (cmt)

\[\frac{AB}{AF}=\frac{AC}{AG}\]

=> FG // BC (định lí đảo talet)

Dạng 3 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau

Bài toán:

Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh :

a) ∆HBE đồng dạng ∆HCE.

b) ∆HED đồng dạng ∆HBC và \[\widehat{HDE}=\widehat{HAE}\]

c) cho biết BD = CD. Gọi M là giao điểm của AH và BC. chứng minh : DE vuông góc EM.

Giải

a)xét ∆HBE và ∆HCD, ta có :

\[\widehat{BEH}=\widehat{CDH}={{90}^{0}}\](gt)

 \[\widehat{{{H}_{1}}}=\widehat{{{H}_{2}}}\](đối đỉnh)

=> ∆HBE ~ ∆HCD (g – g)

b) ∆HED và ∆HBC, ta có :

\[\frac{HE}{HD}=\frac{HD}{HC}\](∆HBE ~ ∆HCD)

=>\[\frac{HE}{HD}=\frac{HD}{HC}\]

\[\widehat{EHD}=\widehat{CHB}\] (đối đỉnh)

=> ∆HED ~ ∆HBC (c – g – c)

=> \[\widehat{{{D}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\] (1)

mà : Đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)

=> H là trực tâm.

=> \[AH\bot BC\] tại M.

=>\[\widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{ABC}={{90}^{0}}\]

mặt khác : \[\widehat{{{C}_{1}}}+\widehat{ABC}={{90}^{0}}\]

=>\[\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\] (2)

từ (1) và (2) : \[\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{D}_{1}}}\]

hay : \[\widehat{HDE}=\widehat{HAE}\]

c) cmtt câu b, ta được : \[\widehat{{{A}_{2}}}=\widehat{{{E}_{2}}}\] (3)

xét ∆BCD, ta có :

DB = DC (gt)

=> ∆BCD cân tại D

=>\[\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{ACB}\]

mà : \[\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{E}_{1}}}\] (∆HED ~ ∆HBC)

=> \[\widehat{{{E}_{1}}}=\widehat{ACB}\]

mà : \[\widehat{{{A}_{2}}}+\widehat{ACB}={{90}^{0}}\]

\[\widehat{{{A}_{2}}}=\widehat{{{E}_{2}}}\](cmt)

=>\[\widehat{{{E}_{1}}}+\widehat{{{E}_{2}}}={{90}^{0}}\]

hay : \[\widehat{DEM}={{90}^{0}}\]

=> \[ED\bot EM\]

Bài viết gợi ý: