Lý thuyết tóm tắt và bài tập điển hình về hệ trục tọa độ
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A. Lý thuyết
1. Trục và độ dài đại số trên trục.
Trục tọa độ (hay trục) là 1 đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e.
Kí hiệu: (O;e).
Cho M tùy ý trên trục (O;e). Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM=ke. Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.
Cho hai điểm A và B trên trục (O;e). Khi đó tồn tại duy nhất số a sao cho AB=ae. Ta gọi số a đó là độ dài đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu a=AB.
Nhận xét :
Nếu AB cùng hướng với e thì AB=AB, còn nếu AB ngược hướng với e thì AB=−AB.
Nếu hai điểm A và B trên trục (O;e) có tọa độ lần lượt là a và b thì AB=b−a
2, Hệ trục tọa độ.
Định nghĩa:
Hệ trục tọa độ (O;i,j)gồm hai trục: trục hoành Ox (hay (O;i)) và trục tung Oy (hay (O;j)).
O được gọi là gốc tọa độ.
Các vectơ i,j được gọi là các vectơ đơn vị và ∣∣∣i∣∣∣=∣∣∣j∣∣∣=1.
Hệ trục tọa độ (O;i,j) còn được kí hiệu là Oxy.
Tọa độ của vectơ
Ta có:
u=(x;y)⇔u=xi+yj
(x;y) được gọi là tọa độ của vectơ u đối với hệ tọa độ Oxy.
x: hoành độ, y: tung độ của vectơ u.
Nhận xét: hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ và tung độ bằng nhau.
Nếu u=(x;y), u′=(x′;y′) thì
→ Mỗi vectơ hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó.
c. Tọa độ của một điểm.
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M tùy ý. Tọa độ OM đối với hệ tọa độ Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ đó.
M=(x;y)⇔OM=xi+yj
Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng.
Cho hai điểm A(xA;yA) và B(xB;yB). Ta có:
AB=(xB−xA;yB−yA).
3. Tọa độ các vectơu+v,u−v,ku.
Cho u=(u1;u2),v=(v1;v2). Khi đó:
ku=(ku1;ku2),k∈R.
4. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
Cho đoạn thẳng AB có A(xA;yA) và B(xB;yB). Khi đó I(xI;yI) là trung điểm của AB thì:
xI=2xA+xB,yI=2yA+yB
Cho tam giác ABC có A(xA;yA),B(xB;yB) và C(xC;yC). Khi đó tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
xG=3xA+xB+xC,yG=3yA+yB+yC
B. Bài tập minh họa
Câu 1: Cho hình bình hành ABCD có AD=4 và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3, góc BAD=60o. Chọn hệ tọa độ sao cho và cùng hướng. Tìm tọa độ các vectơ
Giải:
Kẻ BH⊥AD ta có BH=3, AB=23,AH=3 nên ta có:
A(0;0), B(3;3), C(4+3;3) và D(4;0).
Từ đó có: AB=(3;3)
BC=(4+3−3;3−3)=(4;0)
CD=(4−4−3;0−3)=(−3;−3)
AC=(4+3−0;3−0)=(4+3;3)
Câu 2: Cho u=(3;−2),v=(7;4)
Tính tọa độ các vectơ sau: u+v,u−v, 2u, 3u−4v, −(3u−4v).
Giải:
u+v=(10;2), u−v=(−4;−6);
2u=(6;−4)
Ta có: 3u=(9;−6), 4v=(28;16)
Suy ra 3u−4v=(−19;−22)
Nên −(3u−4v)=(19;22)
Nhận xét: Hai vectơ u=(u1;u2),v=(v1;v2) với v̸=0 cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho u1=kv1 và u2=kv2.
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(3;−2),B(7;1),C(0;1),D(−8;−5). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AB,CD đối nhau. B. AB,CD cùng phương nhưng ngược hướng.
C. AB,CD cùng phương cùng hướng. D. A, B, C, D thẳng hàng.
Giải:
Ta có: AB=(4;3),CD=(−8;−6)⇒CD=−2AB.
Chọn B
Câu 4:Trong mặt phẳng Oxy, gọi B′,B′′ và B′′′ lần lượt là điểm đối xứng của B(−2;7)qua trục Ox,Oyvà qua gốc tọa độ O. Tọa độ của các điểm B′,B′′ và B′′′ là:
A. B′(−2;−7), B′′(2;7)vaˋ B′′′(2;−7).
B. B′(−7;2), B′′(2;7)vaˋ B′′′(2;−7)
C. B′(−2;−7), B′′(2;7)vaˋ B′′′(−7;−2).
DB′(−2;−7), B′′(7;2)vaˋ B′′′(2;−7)
Giải:
Ta có: B′ đối xứng với B(−2;7) qua trục Ox⇒B′(−2;−7)
B′′ đối xứng với B(−2;7) qua trục Oy⇒B′′(2;7)
B′′′ đối xứng với B(−2;7) qua gốc tọa độ O⇒B′′′(2;−7).
Chọn A
Câu 5: Cho A(1;2),B(−2;6). Điểm M trên trục Oy sao cho ba điểm A,B,Mthẳng hàng thì tọa độ điểm M là:
A. (0;10). B. (0;−10). C. (10;0). D. (−10;0).
Giải:
Ta có: M trên trục Oy⇒M(0;y)
Ba điểm A,B,M thẳng hàng khi AB cùng phương với AM
Ta có AB=(−3;4),AM=(−1;y−2). Do đó, AB cùng phương với AM⇔−3−1=4y−2⇒y=10. Vậy M(0;10).
Chọn A
C. Bài tập tự luyện
Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho A(xA;yA) v aˋ B(xB;yB). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
A. I(2xA−xB;2yA−yB).
B. I(2xA+xB;2yA+yB).
C. I(3xA+xB;3yA+yB).
D. I(2xA+yA;2xB+yB).
Câu 2: Cho các vectơ u=(u1;u2),v=(v1;v2). Điều kiện để vectơ u=v là
A.
B.
C.
D.
Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho A(xA;yA) v aˋB(xB;yB). Tọa độ của vectơ AB là
A. AB=(yA−xA;yB−xB). B. AB=(xA+xB;yA+yB).
C. AB=(xA−xB;yA−yB). D. AB=(xB−xA;yB−yA).
Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho A(xA;yA),B(xB;yB)vaˋC(xC;yC). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
A. G(3xA−xB+xC;3yA+yB+yC). B. G(3xA+xB+xC;2yA+yB+yC).
C. G(3xA+xB+xC;3yA+yB+yC). D. G(2xA+xB+xC;3yA+yB+yC).
Câu 5: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ đối nhau.
B. Hai vectơ đối nhau.
C. Hai vectơ đối nhau.
D. Hai vectơ đối nhau.
Câu 6: Trong hệ trục (O;i;j), tọa độ của vec tơ i+j là:
A. (−1;1). B. (1;0). C. (0;1). D. (1;1).
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(5;2),B(10;8). Tọa độ của vec tơ ABlà:
A. (2;4). B. (5;6). C. (15;10). D. (50;6).
Câu 8: Cho hai điểm A(1;0) và B(0;−2). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:
A. (21;−1). B. (−1;21). C. (21;−2). D. (1;−1).
Câu 9: Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O, hai đỉnh A và B có tọa độ là A(−2;2);B(3;5). Tọa độ của đỉnh C là:
A. (1;7). B. (−1;−7). C. (−3;−5). D. (2;−2).
Câu 10:Vectơ a=(−4;0) được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?