Hệ trục tọa độ

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

A. Lý thuyết

1. Trục và độ dài đại số trên trục.

1. Trục tọa độ (hay trục) là 1 đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị $\overrightarrow{e}$.

Kí hiệu: $\left( O;\overrightarrow{e} \right)$.

1. Cho M tùy ý trên trục $\left( O;\overrightarrow{e} \right)$. Khi đó có duy nhất một số k sao cho $\overrightarrow{OM}=k\overrightarrow{e}$. Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.
2. Cho hai điểm A và B trên trục $\left( O;\overrightarrow{e} \right)$. Khi đó tồn tại duy nhất số a sao cho $\overrightarrow{AB}=a\overrightarrow{e}$. Ta gọi số a đó là độ dài đại số của vectơ $\overrightarrow{AB}$ đối với trục đã cho và kí hiệu $a=\overline{AB}$.

 Nhận xét :

• Nếu $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{e}$ thì $\overline{AB}=AB$, còn nếu $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng với $\overrightarrow{e}$ thì $\overline{AB}=-AB$.
• Nếu hai điểm A và B trên trục $\left( O;\overrightarrow{e} \right)$ có tọa độ lần lượt là a và b thì $\overline{AB}=b-a$

2, Hệ trục tọa độ.

1. Định nghĩa:

Hệ trục tọa độ $\left( O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$gồm hai trục: trục hoành Ox (hay $\left( O;\overrightarrow{i} \right)$) và trục tung Oy (hay $\left( O;\overrightarrow{j} \right)$).

O được gọi là gốc tọa độ.

Các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ được gọi là các vectơ đơn vị và $\left| \overrightarrow{i} \right|=\left| \overrightarrow{j} \right|=1$.

Hệ trục tọa độ $\left( O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$ còn được kí hiệu là Oxy. 

2. Tọa độ của vectơ

Ta có:

$\overrightarrow{u}=\left( x;y \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$

$\left( x;y \right)$ được gọi là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ đối với hệ tọa độ Oxy.

$x$: hoành độ, $y$: tung độ của vectơ $\overrightarrow{u}$.

Nhận xét: hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ và tung độ bằng nhau.

Nếu $\overrightarrow{u}=\left( x;y \right)$, $\overrightarrow{u'}=\left( x';y' \right)$ thì

→ Mỗi vectơ hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó.

c. Tọa độ của một điểm.

1. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng.

Cho hai điểm $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)$ và $B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$. Ta có:

$\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)$.

3. Tọa độ các vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}, k\overrightarrow{u}$.

Cho $\overrightarrow{u}=\left( {{u}_{1}};{{u}_{2}} \right),\text{ }\overrightarrow{v}=\left( {{v}_{1}};{{v}_{2}} \right)$. Khi đó:

$k\overrightarrow{u}=\left( k{{u}_{1}};k{{u}_{2}} \right),\text{ }k\in \mathbb{R}$.

4. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

1. Cho đoạn thẳng AB có $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)$ và $B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$. Khi đó $I\left( {{x}_{I}};{{y}_{I}} \right)$ là trung điểm của AB thì:

${{x}_{I}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2},{{y}_{I}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}$

2. Cho tam giác ABC có $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)$,$B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$ và $C\left( {{x}_{C}};{{y}_{C}} \right)$. Khi đó tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

${{x}_{G}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3},{{y}_{G}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}$

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD có $AD=4$ và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3, góc $\widehat{BAD}={{60}^{o}}$. Chọn hệ tọa độ sao cho và  cùng hướng. Tìm tọa độ các vectơ

Giải:

Kẻ $BH\bot AD$ ta có $BH=3$, $AB=2\sqrt{3},AH=\sqrt{3}$ nên ta có:

$A\left( 0;0 \right)$, $B\left( \sqrt{3};3 \right)$, $C\left( 4+\sqrt{3};3 \right)$ và $D\left( 4;0 \right)$.

Từ đó có: $\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{3};3 \right)$

$\overrightarrow{BC}=\left( 4+\sqrt{3}-\sqrt{3};3-3 \right)=\left( 4;0 \right)$

$\overrightarrow{CD}=\left( 4-4-\sqrt{3};0-3 \right)=\left( -\sqrt{3};-3 \right)$

$\overrightarrow{AC}=\left( 4+\sqrt{3}-0;3-0 \right)=\left( 4+\sqrt{3};3 \right)$

Câu 2: Cho $\overrightarrow{u}=\left( 3;-2 \right),\text{ }\overrightarrow{v}=\left( 7;4 \right)$ Tính tọa độ các vectơ sau: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},$ $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$, $2\overrightarrow{u}$, $3\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v}$, $-\left( 3\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v} \right)$.

Giải:

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left( 10;2 \right)$, $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\left( -4;-6 \right)$;

$2\overrightarrow{u}=\left( 6;-4 \right)$

 Ta có: $3\overrightarrow{u}=\left( 9;-6 \right)$, $4\overrightarrow{v}=\left( 28;16 \right)$

Suy ra $3\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v}=\left( -19;-22 \right)$

Nên $-\left( 3\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v} \right)=\left( 19;22 \right)$

• Nhận xét: Hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left( {{u}_{1}};{{u}_{2}} \right),$ $\overrightarrow{v}=\left( {{v}_{1}};{{v}_{2}} \right)$ với $\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$ cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho ${{u}_{1}}=k{{v}_{1}}$ và ${{u}_{2}}=k{{v}_{2}}$.

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho bốn điểm $A\left( 3;-2 \right),\ B\left( 7;1 \right),\ C\left( 0;1 \right),\ D\left( -8;-5 \right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ đối nhau.           B. $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ cùng phương nhưng ngược hướng. C. $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ cùng phương cùng hướng.                     D. A, B, C, D thẳng hàng.

Giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 4;3 \right),\,\overrightarrow{CD}=\left( -8;-6 \right)\Rightarrow \overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}$.

Chọn B

Câu 4:Trong mặt phẳng $Oxy$, gọi $B',\,B''$ và $B'''$ lần lượt là điểm đối xứng của $B\left( -2;7 \right)$qua trục $Ox$,$Oy$và qua gốc tọa độ $O$. Tọa độ của các điểm $B',\,B''$ và $B'''$ là: A. $B'\left( -2;-7 \right),\text{ B}''\left( 2;7 \right)\text{ }v\grave{a}\text{ B}'''\left( 2;-7 \right)$.                            B. $B'\left( -7;2 \right),\text{ B}''\left( 2;7 \right)\text{ }v\grave{a}\text{ B}'''\left( 2;-7 \right)$ C. $B'\left( -2;-7 \right),\text{ B}''\left( 2;7 \right)\text{ }v\grave{a}\text{ B}'''\left( -7;-2 \right)$.                           D$B'\left( -2;-7 \right),\text{ B}''\left( 7;2 \right)\text{ }v\grave{a}\text{ B}'''\left( 2;-7 \right)$

Giải:

Ta có: $B'$ đối xứng với $B\left( -2;7 \right)$ qua trục $Ox\Rightarrow B'\left( -2;-7 \right)$

$B''$ đối xứng với $B\left( -2;7 \right)$ qua trục $Oy\Rightarrow B''\left( 2;7 \right)$

$B'''$ đối xứng với $B\left( -2;7 \right)$ qua gốc tọa độ $O\Rightarrow B'''\left( 2;-7 \right)$.

Chọn A

Câu 5: Cho $A\left( 1;2 \right),\,B\left( -2;6 \right)$. Điểm $M$ trên trục $Oy$ sao cho ba điểm $A,B,M$thẳng hàng thì tọa độ điểm $M$ là: A. $\left( 0;10 \right)$.                           B. $\left( 0;-10 \right)$.           C. $\left( 10;0 \right)$.      D. $\left( -10;0 \right)$.

Giải:

Ta có: $M$ trên trục $Oy\Rightarrow M\left( 0;y \right)$

Ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AM}$

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -3;4 \right),\,\,\overrightarrow{AM}=\left( -1;y-2 \right)$. Do đó, $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AM}\Leftrightarrow \frac{-1}{-3}=\frac{y-2}{4}\Rightarrow y=10$. Vậy $M\left( 0;10 \right)$.

Chọn A

C. Bài tập tự luyện

Câu 1:  Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\text{ B}\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là:

A. $I\left( \frac{{{x}_{A}}-{{x}_{B}}}{2};\frac{{{y}_{A}}-{{y}_{B}}}{2} \right)$.                                                             

B. $I\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2} \right)$.

C. $I\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{3};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{3} \right)$.                                                             

D. $I\left( \frac{{{x}_{A}}+{{y}_{A}}}{2};\frac{{{x}_{B}}+{{y}_{B}}}{2} \right)$.

Câu 2: Cho các vectơ $\overrightarrow{u}=\left( {{u}_{1}};{{u}_{2}} \right),\text{ }\overrightarrow{v}=\left( {{v}_{1}};{{v}_{2}} \right)$. Điều kiện để vectơ $\overrightarrow{u}\,=\overrightarrow{v}$ là

A.

B.

C.

D.

Câu 3: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\text{ }B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là

A. $\overrightarrow{AB}=\left( {{y}_{A}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{x}_{B}} \right)$.                                B. $\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}};{{y}_{A}}+{{y}_{B}} \right)$.

C. $\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}};{{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right)$.                                D. $\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)$.

Câu 4: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right),\text{ }B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)v\grave{a}\text{ }C\left( {{x}_{C}};{{y}_{C}} \right)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:

A. $G\left( \frac{{{x}_{A}}-{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} \right)$.                                B. $G\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{2} \right)$.

C. $G\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} \right)$.                    D. $G\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{2};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} \right)$.

Câu 5: Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hai vectơ đối nhau.

B. Hai vectơ đối nhau.

C. Hai vectơ đối nhau.

D. Hai vectơ đối nhau.

Câu 6: Trong hệ trục $\left( O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j} \right)$, tọa độ của vec tơ $\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ là:

A. $\left( -1;1 \right)$.                            B. $\left( 1;0 \right)$.      C. $\left( 0;1 \right)$.                                D. $\left( 1;1 \right)$.

Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $A\left( 5;2 \right),B\left( 10;8 \right)$. Tọa độ của vec tơ $\overrightarrow{AB}$là:

A. $\left( 2;4 \right)$.                             B. $\left( 5;6 \right)$.      C. $\left( 15;10 \right)$.                    D. $\left( 50;6 \right)$.

Câu 8: Cho hai điểm $A\left( 1;0 \right)$ và $B\left( 0;-2 \right)$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là:

A. $\left( \frac{1}{2};-1 \right)$.            B. $\left( -1;\frac{1}{2} \right)$.         C. $\left( \frac{1}{2};-2 \right)$.                           D. $\left( 1;-1 \right)$.

Câu 9: Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm là gốc tọa độ $O$, hai đỉnh $A$ và $B$ có tọa độ là $A\left( -2;2 \right)$;$B\left( 3;5 \right)$. Tọa độ của đỉnh $C$ là:

A. $\left( 1;7 \right)$.                             B. $\left( -1;-7 \right)$.    C. $\left( -3;-5 \right)$.                    D. $\left( 2;-2 \right)$.

Câu 10:Vectơ $\overrightarrow{a}=\left( -4;0 \right)$ được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?

A. $\overrightarrow{a}=-4\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$.         B. $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}$.    C. $\overrightarrow{a}=-4\overrightarrow{j}$.                         D. $\overrightarrow{a}=-4\overrightarrow{i}$.

Đáp án bài tập tự luyện

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
B	C	D	C	C	D	B	A	B	D

 

 

Bài viết gợi ý: