HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

A. Lý thuyết

1. Trục và độ dài đại số trên trục.

  1. Trục tọa độ (hay trục) là 1 đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e\overrightarrow{e}.

Kí hiệu: (O;e)\left( O;\overrightarrow{e} \right).

  1. Cho M tùy ý trên trục (O;e)\left( O;\overrightarrow{e} \right). Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM=ke\overrightarrow{OM}=k\overrightarrow{e}. Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.
  2. Cho hai điểm A và B trên trục (O;e)\left( O;\overrightarrow{e} \right). Khi đó tồn tại duy nhất số a sao cho AB=ae\overrightarrow{AB}=a\overrightarrow{e}. Ta gọi số a đó là độ dài đại số của vectơ AB\overrightarrow{AB} đối với trục đã cho và kí hiệu a=ABa=\overline{AB}.

 Nhận xét :

  • Nếu AB\overrightarrow{AB} cùng hướng với e\overrightarrow{e} thì AB=AB\overline{AB}=AB, còn nếu AB\overrightarrow{AB} ngược hướng với e\overrightarrow{e} thì AB=AB\overline{AB}=-AB.
  • Nếu hai điểm A và B trên trục (O;e)\left( O;\overrightarrow{e} \right) có tọa độ lần lượt là a và b thì AB=ba\overline{AB}=b-a

2, Hệ trục tọa độ.

  1. Định nghĩa:

Hệ trục tọa độ (O;i,j)\left( O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)gồm hai trục: trục hoành Ox (hay (O;i)\left( O;\overrightarrow{i} \right)) và trục tung Oy (hay (O;j)\left( O;\overrightarrow{j} \right)).

O được gọi là gốc tọa độ.

Các vectơ i,j\overrightarrow{i},\overrightarrow{j} được gọi là các vectơ đơn vị và i=j=1\left| \overrightarrow{i} \right|=\left| \overrightarrow{j} \right|=1.

Hệ trục tọa độ (O;i,j)\left( O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right) còn được kí hiệu là Oxy. 

  1. Tọa độ của vectơ

Ta có:

u=(x;y)u=xi+yj\overrightarrow{u}=\left( x;y \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}

(x;y)\left( x;y \right) được gọi là tọa độ của vectơ u\overrightarrow{u} đối với hệ tọa độ Oxy.

xx: hoành độ, yy: tung độ của vectơ u\overrightarrow{u}.

Nhận xét: hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ và tung độ bằng nhau.

Nếu u=(x;y)\overrightarrow{u}=\left( x;y \right), u=(x;y)\overrightarrow{u'}=\left( x';y' \right) thì

→ Mỗi vectơ hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó.

c. Tọa độ của một điểm.

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M tùy ý. Tọa độ OM\overrightarrow{OM} đối với hệ tọa độ Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ đó.

M=(x;y)OM=xi+yjM=\left( x;y \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}

  1. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng.

Cho hai điểm A(xA;yA)A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)B(xB;yB)B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right). Ta có:

AB=(xBxA;yByA)\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right).

3. Tọa độ các vectơ u+v,uv,ku\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}, k\overrightarrow{u}.

Cho u=(u1;u2), v=(v1;v2)\overrightarrow{u}=\left( {{u}_{1}};{{u}_{2}} \right),\text{ }\overrightarrow{v}=\left( {{v}_{1}};{{v}_{2}} \right). Khi đó:

ku=(ku1;ku2), kRk\overrightarrow{u}=\left( k{{u}_{1}};k{{u}_{2}} \right),\text{ }k\in \mathbb{R}.

4. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

  1. Cho đoạn thẳng AB có A(xA;yA)A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)B(xB;yB)B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right). Khi đó I(xI;yI)I\left( {{x}_{I}};{{y}_{I}} \right) là trung điểm của AB thì:

xI=xA+xB2,yI=yA+yB2{{x}_{I}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2},{{y}_{I}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}

  1. Cho tam giác ABC có A(xA;yA)A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right),B(xB;yB)B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)C(xC;yC)C\left( {{x}_{C}};{{y}_{C}} \right). Khi đó tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

xG=xA+xB+xC3,yG=yA+yB+yC3{{x}_{G}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3},{{y}_{G}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD có AD=4AD=4 và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3, góc BAD^=60o\widehat{BAD}={{60}^{o}}. Chọn hệ tọa độ sao cho  cùng hướng. Tìm tọa độ các vectơ 

Giải:

Kẻ BHADBH\bot AD ta có BH=3BH=3, AB=23,AH=3AB=2\sqrt{3},AH=\sqrt{3} nên ta có:

A(0;0)A\left( 0;0 \right), B(3;3)B\left( \sqrt{3};3 \right), C(4+3;3)C\left( 4+\sqrt{3};3 \right)D(4;0)D\left( 4;0 \right).

Từ đó có: AB=(3;3)\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{3};3 \right)

BC=(4+33;33)=(4;0)\overrightarrow{BC}=\left( 4+\sqrt{3}-\sqrt{3};3-3 \right)=\left( 4;0 \right)

CD=(443;03)=(3;3)\overrightarrow{CD}=\left( 4-4-\sqrt{3};0-3 \right)=\left( -\sqrt{3};-3 \right)

AC=(4+30;30)=(4+3;3)\overrightarrow{AC}=\left( 4+\sqrt{3}-0;3-0 \right)=\left( 4+\sqrt{3};3 \right)

Câu 2: Cho u=(3;2), v=(7;4)\overrightarrow{u}=\left( 3;-2 \right),\text{ }\overrightarrow{v}=\left( 7;4 \right)

Tính tọa độ các vectơ sau: u+v,\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}, uv\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}, 2u2\overrightarrow{u}, 3u4v3\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v}, (3u4v)-\left( 3\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v} \right).

Giải:

u+v=(10;2)\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left( 10;2 \right), uv=(4;6)\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\left( -4;-6 \right);

2u=(6;4)2\overrightarrow{u}=\left( 6;-4 \right)

 Ta có: 3u=(9;6)3\overrightarrow{u}=\left( 9;-6 \right), 4v=(28;16)4\overrightarrow{v}=\left( 28;16 \right)

Suy ra 3u4v=(19;22)3\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v}=\left( -19;-22 \right)

Nên (3u4v)=(19;22)-\left( 3\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v} \right)=\left( 19;22 \right)

  • Nhận xét: Hai vectơ u=(u1;u2),\overrightarrow{u}=\left( {{u}_{1}};{{u}_{2}} \right), v=(v1;v2)\overrightarrow{v}=\left( {{v}_{1}};{{v}_{2}} \right) với v0\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0} cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho u1=kv1{{u}_{1}}=k{{v}_{1}}u2=kv2{{u}_{2}}=k{{v}_{2}}.

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy cho bốn điểm A(3;2), B(7;1), C(0;1), D(8;5)A\left( 3;-2 \right),\ B\left( 7;1 \right),\ C\left( 0;1 \right),\ D\left( -8;-5 \right). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. AB,CD\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} đối nhau.           B. AB,CD\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} cùng phương nhưng ngược hướng.

C. AB,CD\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} cùng phương cùng hướng.                     D. A, B, C, D thẳng hàng.

Giải:

Ta có: AB=(4;3), CD=(8;6)CD=2AB\overrightarrow{AB}=\left( 4;3 \right),\,\overrightarrow{CD}=\left( -8;-6 \right)\Rightarrow \overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}.

Chọn B

Câu 4:Trong mặt phẳng OxyOxy, gọi B, BB',\,B''BB''' lần lượt là điểm đối xứng của B(2;7)B\left( -2;7 \right)qua trục OxOx,OyOyvà qua gốc tọa độ OO. Tọa độ của các điểm B, BB',\,B''BB''' là:

A. B(2;7), B(2;7) vaˋ B(2;7)B'\left( -2;-7 \right),\text{ B}''\left( 2;7 \right)\text{ }v\grave{a}\text{ B}'''\left( 2;-7 \right).                           

B. B(7;2), B(2;7) vaˋ B(2;7)B'\left( -7;2 \right),\text{ B}''\left( 2;7 \right)\text{ }v\grave{a}\text{ B}'''\left( 2;-7 \right)

C. B(2;7), B(2;7) vaˋ B(7;2)B'\left( -2;-7 \right),\text{ B}''\left( 2;7 \right)\text{ }v\grave{a}\text{ B}'''\left( -7;-2 \right).                          

DB(2;7), B(7;2) vaˋ B(2;7)B'\left( -2;-7 \right),\text{ B}''\left( 7;2 \right)\text{ }v\grave{a}\text{ B}'''\left( 2;-7 \right)

Giải:

Ta có: BB' đối xứng với B(2;7)B\left( -2;7 \right) qua trục OxB(2;7)Ox\Rightarrow B'\left( -2;-7 \right)

BB'' đối xứng với B(2;7)B\left( -2;7 \right) qua trục OyB(2;7)Oy\Rightarrow B''\left( 2;7 \right)

BB''' đối xứng với B(2;7)B\left( -2;7 \right) qua gốc tọa độ OB(2;7)O\Rightarrow B'''\left( 2;-7 \right).

Chọn A

Câu 5: Cho A(1;2), B(2;6)A\left( 1;2 \right),\,B\left( -2;6 \right). Điểm MM trên trục OyOy sao cho ba điểm A,B,MA,B,Mthẳng hàng thì tọa độ điểm MM là:

A. (0;10)\left( 0;10 \right).                           B. (0;10)\left( 0;-10 \right).           C. (10;0)\left( 10;0 \right).      D. (10;0)\left( -10;0 \right).

Giải:

Ta có: MM trên trục OyM(0;y)Oy\Rightarrow M\left( 0;y \right)

Ba điểm A,B,MA,B,M thẳng hàng khi AB\overrightarrow{AB} cùng phương với AM\overrightarrow{AM}

Ta có AB=(3;4),  AM=(1;y2)\overrightarrow{AB}=\left( -3;4 \right),\,\,\overrightarrow{AM}=\left( -1;y-2 \right). Do đó, AB\overrightarrow{AB} cùng phương với AM13=y24y=10\overrightarrow{AM}\Leftrightarrow \frac{-1}{-3}=\frac{y-2}{4}\Rightarrow y=10. Vậy M(0;10)M\left( 0;10 \right).

Chọn A

C. Bài tập tự luyện

Câu 1:  Trong mặt phẳng OxyOxy, cho A(xA;yA) v ​​aˋ​​   B(xB;yB)A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\text{ B}\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right). Tọa độ trung điểm II của đoạn thẳng ABAB là:

A. I(xAxB2;yAyB2)I\left( \frac{{{x}_{A}}-{{x}_{B}}}{2};\frac{{{y}_{A}}-{{y}_{B}}}{2} \right).                                                             

B. I(xA+xB2;yA+yB2)I\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2} \right).

C. I(xA+xB3;yA+yB3)I\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{3};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{3} \right).                                                             

D. I(xA+yA2;xB+yB2)I\left( \frac{{{x}_{A}}+{{y}_{A}}}{2};\frac{{{x}_{B}}+{{y}_{B}}}{2} \right).

Câu 2: Cho các vectơ u=(u1;u2), v=(v1;v2)\overrightarrow{u}=\left( {{u}_{1}};{{u}_{2}} \right),\text{ }\overrightarrow{v}=\left( {{v}_{1}};{{v}_{2}} \right). Điều kiện để vectơ u =v\overrightarrow{u}\,=\overrightarrow{v}

A.

B.

C.

D.

Câu 3: Trong mặt phẳng OxyOxy, cho A(xA;yA) v ​​aˋ​​   B(xB;yB)A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\text{ }B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right). Tọa độ của vectơ AB\overrightarrow{AB}

A. AB=(yAxA;yBxB)\overrightarrow{AB}=\left( {{y}_{A}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{x}_{B}} \right).                                B. AB=(xA+xB;yA+yB)\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}};{{y}_{A}}+{{y}_{B}} \right).

C. AB=(xAxB;yAyB)\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}};{{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right).                                D. AB=(xBxA;yByA)\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right).

Câu 4: Trong mặt phẳng OxyOxy, cho A(xA;yA), B(xB;yB)vaˋ C(xC;yC)A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right),\text{ }B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)v\grave{a}\text{ }C\left( {{x}_{C}};{{y}_{C}} \right). Tọa độ trọng tâm GG của tam giác ABCABC là:

A. G(xAxB+xC3;yA+yB+yC3)G\left( \frac{{{x}_{A}}-{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} \right).                                B. G(xA+xB+xC3;yA+yB+yC2)G\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{2} \right).

C. G(xA+xB+xC3;yA+yB+yC3)G\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} \right).                    D. G(xA+xB+xC2;yA+yB+yC3)G\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{2};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} \right).

Câu 5: Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hai vectơ đối nhau.

B. Hai vectơ đối nhau.

C. Hai vectơ đối nhau.

D. Hai vectơ đối nhau.

Câu 6: Trong hệ trục (O;i;j)\left( O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j} \right), tọa độ của vec tơ i+j\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j} là:

A. (1;1)\left( -1;1 \right).                            B. (1;0)\left( 1;0 \right).      C. (0;1)\left( 0;1 \right).                                D. (1;1)\left( 1;1 \right).

Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy cho A(5;2),B(10;8)A\left( 5;2 \right),B\left( 10;8 \right). Tọa độ của vec tơ AB\overrightarrow{AB}là:

A. (2;4)\left( 2;4 \right).                             B. (5;6)\left( 5;6 \right).      C. (15;10)\left( 15;10 \right).                    D. (50;6)\left( 50;6 \right).

Câu 8: Cho hai điểm A(1;0)A\left( 1;0 \right)B(0;2)B\left( 0;-2 \right). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng ABAB là:

A. (12;1)\left( \frac{1}{2};-1 \right).            B. (1;12)\left( -1;\frac{1}{2} \right).         C. (12;2)\left( \frac{1}{2};-2 \right).                           D. (1;1)\left( 1;-1 \right).

Câu 9: Cho tam giác ABCABC có trọng tâm là gốc tọa độ OO, hai đỉnh AABB có tọa độ là A(2;2)A\left( -2;2 \right);B(3;5)B\left( 3;5 \right). Tọa độ của đỉnh CC là:

A. (1;7)\left( 1;7 \right).                             B. (1;7)\left( -1;-7 \right).    C. (3;5)\left( -3;-5 \right).                    D. (2;2)\left( 2;-2 \right).

Câu 10:Vectơ a=(4;0)\overrightarrow{a}=\left( -4;0 \right) được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?

A. a=4i+j\overrightarrow{a}=-4\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}.         B. a=i+4j\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}.    C. a=4j\overrightarrow{a}=-4\overrightarrow{j}.                         D. a=4i\overrightarrow{a}=-4\overrightarrow{i}.

Đáp án bài tập tự luyện

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

B

C

D

C

C

D

B

A

B

D

 

 

Bài viết gợi ý: