Hệ trục tọa độ

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

A. Lý thuyết

1. Trục và độ dài đại số trên trục.

Trục tọa độ (hay trục) là 1 đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị $\overrightarrow{e}$.

Kí hiệu: $\left( O;\overrightarrow{e} \right)$.

Cho M tùy ý trên trục $\left( O;\overrightarrow{e} \right)$. Khi đó có duy nhất một số k sao cho $\overrightarrow{OM}=k\overrightarrow{e}$. Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.
Cho hai điểm A và B trên trục $\left( O;\overrightarrow{e} \right)$. Khi đó tồn tại duy nhất số a sao cho $\overrightarrow{AB}=a\overrightarrow{e}$. Ta gọi số a đó là độ dài đại số của vectơ $\overrightarrow{AB}$ đối với trục đã cho và kí hiệu $a=\overline{AB}$.

Nhận xét :

Nếu $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{e}$ thì $\overline{AB}=AB$, còn nếu $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng với $\overrightarrow{e}$ thì $\overline{AB}=-AB$.
Nếu hai điểm A và B trên trục $\left( O;\overrightarrow{e} \right)$ có tọa độ lần lượt là a và b thì $\overline{AB}=b-a$

2, Hệ trục tọa độ.

Định nghĩa:

Hệ trục tọa độ $\left( O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$gồm hai trục: trục hoành Ox (hay $\left( O;\overrightarrow{i} \right)$) và trục tung Oy (hay $\left( O;\overrightarrow{j} \right)$).

O được gọi là gốc tọa độ.

Các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ được gọi là các vectơ đơn vị và $\left| \overrightarrow{i} \right|=\left| \overrightarrow{j} \right|=1$.

Hệ trục tọa độ $\left( O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$ còn được kí hiệu là Oxy.

Tọa độ của vectơ

Ta có:

$\overrightarrow{u}=\left( x;y \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$

$\left( x;y \right)$ được gọi là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ đối với hệ tọa độ Oxy.

$x$: hoành độ, $y$: tung độ của vectơ $\overrightarrow{u}$.

Nhận xét: hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ và tung độ bằng nhau.

Nếu $\overrightarrow{u}=\left( x;y \right)$, $\overrightarrow{u'}=\left( x';y' \right)$ thì

→ Mỗi vectơ hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó.

c. Tọa độ của một điểm.

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M tùy ý. Tọa độ $\overrightarrow{OM}$ đối với hệ tọa độ Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ đó.

$M=\left( x;y \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$

Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng.

Cho hai điểm $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)$ và $B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$. Ta có:

$\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)$.

3. Tọa độ các vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}, k\overrightarrow{u}$.

Cho $\overrightarrow{u}=\left( {{u}_{1}};{{u}_{2}} \right),\text{ }\overrightarrow{v}=\left( {{v}_{1}};{{v}_{2}} \right)$. Khi đó:

$k\overrightarrow{u}=\left( k{{u}_{1}};k{{u}_{2}} \right),\text{ }k\in \mathbb{R}$.

4. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

Cho đoạn thẳng AB có $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)$ và $B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$. Khi đó $I\left( {{x}_{I}};{{y}_{I}} \right)$ là trung điểm của AB thì:

\[{{x}_{I}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2},{{y}_{I}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}\]

Cho tam giác ABC có $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)$,$B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$ và $C\left( {{x}_{C}};{{y}_{C}} \right)$. Khi đó tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

\[{{x}_{G}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3},{{y}_{G}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}\]

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD có $AD=4$ và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3, góc \[\widehat{BAD}={{60}^{o}}\]. Chọn hệ tọa độ sao cho và cùng hướng. Tìm tọa độ các vectơ

Giải:

Kẻ $BH\bot AD$ ta có $BH=3$, $AB=2\sqrt{3},AH=\sqrt{3}$ nên ta có:

$A\left( 0;0 \right)$, $B\left( \sqrt{3};3 \right)$, $C\left( 4+\sqrt{3};3 \right)$ và $D\left( 4;0 \right)$.

Từ đó có: $\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{3};3 \right)$

$\overrightarrow{BC}=\left( 4+\sqrt{3}-\sqrt{3};3-3 \right)=\left( 4;0 \right)$

$\overrightarrow{CD}=\left( 4-4-\sqrt{3};0-3 \right)=\left( -\sqrt{3};-3 \right)$

$\overrightarrow{AC}=\left( 4+\sqrt{3}-0;3-0 \right)=\left( 4+\sqrt{3};3 \right)$

Câu 2: Cho $\overrightarrow{u}=\left( 3;-2 \right),\text{ }\overrightarrow{v}=\left( 7;4 \right)$

Tính tọa độ các vectơ sau: \[\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},\] \[\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\], $2\overrightarrow{u}$, \[3\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v}\], $-\left( 3\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v} \right)$.

Giải:

\[\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left( 10;2 \right)\], \[\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\left( -4;-6 \right)\];

$2\overrightarrow{u}=\left( 6;-4 \right)$

Ta có: $3\overrightarrow{u}=\left( 9;-6 \right)$, $4\overrightarrow{v}=\left( 28;16 \right)$

Suy ra \[3\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v}=\left( -19;-22 \right)\]

Nên $-\left( 3\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v} \right)=\left( 19;22 \right)$

Nhận xét: Hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left( {{u}_{1}};{{u}_{2}} \right),$ $\overrightarrow{v}=\left( {{v}_{1}};{{v}_{2}} \right)$ với $\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$ cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho ${{u}_{1}}=k{{v}_{1}}$ và ${{u}_{2}}=k{{v}_{2}}$.

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho bốn điểm $A\left( 3;-2 \right),\ B\left( 7;1 \right),\ C\left( 0;1 \right),\ D\left( -8;-5 \right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ đối nhau. B. $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ cùng phương nhưng ngược hướng.

C. $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ cùng phương cùng hướng. D. A, B, C, D thẳng hàng.

Giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 4;3 \right),\,\overrightarrow{CD}=\left( -8;-6 \right)\Rightarrow \overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}$.

Chọn B

Câu 4:Trong mặt phẳng \[Oxy\], gọi \[B',\,B''\] và \[B'''\] lần lượt là điểm đối xứng của \[B\left( -2;7 \right)\]qua trục \[Ox\],\[Oy\]và qua gốc tọa độ \[O\]. Tọa độ của các điểm \[B',\,B''\] và \[B'''\] là:

A. \[B'\left( -2;-7 \right),\text{ B}''\left( 2;7 \right)\text{ }v\grave{a}\text{ B}'''\left( 2;-7 \right)\].

B. \[B'\left( -7;2 \right),\text{ B}''\left( 2;7 \right)\text{ }v\grave{a}\text{ B}'''\left( 2;-7 \right)\]

C. \[B'\left( -2;-7 \right),\text{ B}''\left( 2;7 \right)\text{ }v\grave{a}\text{ B}'''\left( -7;-2 \right)\].

D\[B'\left( -2;-7 \right),\text{ B}''\left( 7;2 \right)\text{ }v\grave{a}\text{ B}'''\left( 2;-7 \right)\]

Giải:

Ta có: \[B'\] đối xứng với \[B\left( -2;7 \right)\] qua trục \[Ox\Rightarrow B'\left( -2;-7 \right)\]

\[B''\] đối xứng với \[B\left( -2;7 \right)\] qua trục \[Oy\Rightarrow B''\left( 2;7 \right)\]

\[B'''\] đối xứng với \[B\left( -2;7 \right)\] qua gốc tọa độ \[O\Rightarrow B'''\left( 2;-7 \right)\].

Chọn A

Câu 5: Cho \[A\left( 1;2 \right),\,B\left( -2;6 \right)\]. Điểm \[M\] trên trục \[Oy\] sao cho ba điểm \[A,B,M\]thẳng hàng thì tọa độ điểm \[M\] là:

A. \[\left( 0;10 \right)\]. B. \[\left( 0;-10 \right)\]. C. \[\left( 10;0 \right)\]. D. \[\left( -10;0 \right)\].

Giải:

Ta có: \[M\] trên trục \[Oy\Rightarrow M\left( 0;y \right)\]

Ba điểm \[A,B,M\] thẳng hàng khi \[\overrightarrow{AB}\] cùng phương với \[\overrightarrow{AM}\]

Ta có \[\overrightarrow{AB}=\left( -3;4 \right),\,\,\overrightarrow{AM}=\left( -1;y-2 \right)\]. Do đó, \[\overrightarrow{AB}\] cùng phương với \[\overrightarrow{AM}\Leftrightarrow \frac{-1}{-3}=\frac{y-2}{4}\Rightarrow y=10\]. Vậy \[M\left( 0;10 \right)\].

Chọn A

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Trong mặt phẳng \[Oxy\], cho \[A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\text{ B}\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)\]. Tọa độ trung điểm \[I\] của đoạn thẳng \[AB\] là:

A. \[I\left( \frac{{{x}_{A}}-{{x}_{B}}}{2};\frac{{{y}_{A}}-{{y}_{B}}}{2} \right)\].

B. \[I\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2} \right)\].

C. \[I\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{3};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{3} \right)\].

D. \[I\left( \frac{{{x}_{A}}+{{y}_{A}}}{2};\frac{{{x}_{B}}+{{y}_{B}}}{2} \right)\].

Câu 2: Cho các vectơ \[\overrightarrow{u}=\left( {{u}_{1}};{{u}_{2}} \right),\text{ }\overrightarrow{v}=\left( {{v}_{1}};{{v}_{2}} \right)\]. Điều kiện để vectơ \[\overrightarrow{u}\,=\overrightarrow{v}\] là

Câu 3: Trong mặt phẳng \[Oxy\], cho \[A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\text{ }B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)\]. Tọa độ của vectơ \[\overrightarrow{AB}\] là

A. \[\overrightarrow{AB}=\left( {{y}_{A}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{x}_{B}} \right)\]. B. \[\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}};{{y}_{A}}+{{y}_{B}} \right)\].

C. \[\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}};{{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right)\]. D. \[\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)\].

Câu 4: Trong mặt phẳng \[Oxy\], cho \[A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right),\text{ }B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)v\grave{a}\text{ }C\left( {{x}_{C}};{{y}_{C}} \right)\]. Tọa độ trọng tâm \[G\] của tam giác \[ABC\] là:

A. \[G\left( \frac{{{x}_{A}}-{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} \right)\]. B. \[G\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{2} \right)\].

C. \[G\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} \right)\]. D. \[G\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{2};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} \right)\].

Câu 5: Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hai vectơ đối nhau.

B. Hai vectơ đối nhau.

C. Hai vectơ đối nhau.

D. Hai vectơ đối nhau.

Câu 6: Trong hệ trục \[\left( O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j} \right)\], tọa độ của vec tơ \[\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\] là:

A. \[\left( -1;1 \right)\]. B. \[\left( 1;0 \right)\]. C. \[\left( 0;1 \right)\]. D. \[\left( 1;1 \right)\].

Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] cho \[A\left( 5;2 \right),B\left( 10;8 \right)\]. Tọa độ của vec tơ \[\overrightarrow{AB}\]là:

A. \[\left( 2;4 \right)\]. B. \[\left( 5;6 \right)\]. C. \[\left( 15;10 \right)\]. D. \[\left( 50;6 \right)\].

Câu 8: Cho hai điểm \[A\left( 1;0 \right)\] và \[B\left( 0;-2 \right)\]. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \[AB\] là:

A. \[\left( \frac{1}{2};-1 \right)\]. B. \[\left( -1;\frac{1}{2} \right)\]. C. \[\left( \frac{1}{2};-2 \right)\]. D. \[\left( 1;-1 \right)\].

Câu 9: Cho tam giác \[ABC\] có trọng tâm là gốc tọa độ \[O\], hai đỉnh \[A\] và \[B\] có tọa độ là \[A\left( -2;2 \right)\];\[B\left( 3;5 \right)\]. Tọa độ của đỉnh \[C\] là:

A. \[\left( 1;7 \right)\]. B. \[\left( -1;-7 \right)\]. C. \[\left( -3;-5 \right)\]. D. \[\left( 2;-2 \right)\].

Câu 10:Vectơ \[\overrightarrow{a}=\left( -4;0 \right)\] được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?

A. \[\overrightarrow{a}=-4\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\]. B. \[\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}\]. C. \[\overrightarrow{a}=-4\overrightarrow{j}\]. D. \[\overrightarrow{a}=-4\overrightarrow{i}\].

Đáp án bài tập tự luyện