Khảo Sát Dao Dộng Của Con Lắc Lò Xo

 KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC LÒ XO

 

A: CƠ SỞ LÍ THUYẾT

1. Khảo sát dao động của con lắc lò xo:

a. Con lắc lò xo nằm ngang: Xét con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m và lò xo có độ cứng k, vật m được đặt trên mặt sàn nằm ngang, cho rằng ma sát giữa vật và mặt sàn là nhỏ và có thể bỏ qua. Kéo vật lệch ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn rồi thả nhẹ: Phương trình định luật II Niuton cho vật trong quá trìn dao động: \[\overrightarrow{N}+\overrightarrow{P}+\overrightarrow{{{F}_{dh}}}=m\overrightarrow{a}\] Chiếu lên trục Ox ta thu được phương trình đại số: \[-kx=m{x}''\] Hay: \[{x}''+\frac{k}{m}x=0\] Phương trình này cho nghiệm dưới dạng:

\[x=A\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{0}} \right)\] trong đó \[{{\omega }^{2}}=\frac{k}{m}\]

Kết quả trên cho thấy rằng dao động của con lắc lò xo nằm ngang (trường hợp bỏ qua ma sát) là một dao động điều hào với chu kì \[T=\frac{2\pi }{\omega }\]

b. Con lắc lò xo thẳng đứng: Xét con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m, một lò xo có độ cứng k được treo thẳng đứng. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bẳng rồi thả nhẹ (cho rằng trong quá trình dao động của vật lực cản rất nhỏ có thể bỏ qua) Phương trình định luật II Niuton cho vật: \[\overrightarrow{{{F}_{dh}}}+\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{a}\] Chiếu lên trục Ox ta thu được phương trình đại số: \[-kx=m{x}''\] Hay : \[{x}''+\frac{k}{m}x=0\]

Phương trình này cho nghiệm dưới dạng

\[x=A\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{0}} \right)\] với \[{{\omega }^{2}}=\frac{k}{m}\]

Kết quả trên cũng cho thấy rằng dao động của con lắc lò xo treo thẳng đứng (trường hợp bỏ qua các lực cản) là một dao động điều hòa với chu kì \[T=\frac{2\pi }{\omega }\]

2. Vận tốc và gia tốc của con lắc trong quá trình dao động:

a. Vận tốc:

Vận tốc của con lắc được xác định bằng đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian:

\[v={x}'=-\omega A\sin \left( \omega t+{{\varphi }_{0}} \right)=\omega A\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{0}}+\frac{\pi }{2} \right)\]

Từ biểu thức của gia tốc ta có thể suy ra:

+ Khi vật ở vị trí cân bằng thì \[\left| v \right|={{\left| v \right|}_{\max }}=\omega A\]

+ Khi vật ở vị trí biên thì \[\left| v \right|={{\left| v \right|}_{\min }}=0\]

\[\Rightarrow \]Công thức độc lập với thời gian giữa li độ và vận tốc:

\[{{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{\omega A} \right)}^{2}}=1\]

b. Gia tốc:

Gia tốc của con lắc được tính bằng đạo hàm bậc hai theo thời gian của li độ:

\[a={x}''=-{{\omega }^{2}}x={{\omega }^{2}}A\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{0}}+\pi  \right)\]

Từ biểu thức trên ta có thể suy ra rằng:

+ Khi vật ở vị trí cân bằng thì \[\left| a \right|={{\left| a \right|}_{\min }}=0\]

+ Khi vật ở vị trí biên thì \[\left| a \right|={{\left| a \right|}_{\max }}={{\omega }^{2}}A\]

\[\Rightarrow \]Công thức độc lập với thời gian giữa vận tốc và gia tốc:

\[{{\left( \frac{v}{\omega A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{\omega }^{2}}A} \right)}^{2}}=1\]

 

II. NĂNG LƯỢNG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA:

Trong quá trình dao động điều hòa, cơ năng của con lắc được tính bằng tổng động năng và thế năng (với gốc tính thế năng là tại vị trí cân bằng)

\[\text{W}={{\text{W}}_{d}}+{{\text{W}}_{t}}\]

Trong đó:

+ \[{{\text{W}}_{d}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}{{\sin }^{2}}\left( \omega t+{{\varphi }_{0}} \right)\]

 Nếu con lắc dao động điều hòa với chu kì T và tần số f thì động năng của vật sẽ biến đổi tuần hoàn theo chu kì \[\frac{T}{2}\] và tần số 2f

+ \[{{\text{W}}_{t}}=\frac{1}{2}k{{x}^{2}}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}{{\cos }^{2}}\left( \omega t+{{\varphi }_{0}} \right)\]

\[\Rightarrow \] Nếu con lắc dao động điều hòa với chu kì T và tần số f thì thế năng của vật sẽ biến đổi tuần hoàn theo chu kì \[\frac{T}{2}\] và tần số 2f

Thay vào biểu thức của cơ năng ta thu được: \[W=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\]

 

Đồ thị biểu diễn động năng, thế năng và cơ năng của vật theo thời gian (gốc thời gian t=0 lúc vật đang ở vị trí biên)

Từ đồ thị ta có thế thấy rằng cứ sau mỗi khoảng thời gian \[\frac{T}{8}\]thì động năng lại bằng thế năng của vật, khi đó \[x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}A\], động năng và thế năng biến thiên ngược pha nhau.

 

B: BÀI TẬP MẪU

Hướng dẫn

Chu kì dao động của con lắc \[T=2\pi \sqrt{\frac{\Delta {{l}_{0}}}{g}}=2\pi \sqrt{\frac{{{2,5.10}^{-2}}}{10}}=0,31\text{s}\]

• Đáp án A

 

Hướng dẫn

Độ cứng của lò xo \[\text{W}=\frac{1}{2}k{{\text{A}}^{2}}\Rightarrow k=\frac{2W}{{{A}^{2}}}=\frac{2.0,9}{{{\left( {{15.10}^{-2}} \right)}^{2}}}=80\]N/m

Động năng của con lắc tại vị trí  \[x=-5\]cm là

\[{{\text{W}}_{d}}=\text{W}-{{\text{W}}_{t}}=\text{W}-\frac{1}{2}k{{\text{x}}^{2}}=0,9-\frac{1}{2}.80.{{\left( -{{5.10}^{-2}} \right)}^{2}}=0,8J\]

Hướng dẫn

\[{{v}_{ma\text{x}}}=\omega A\] và \[{{a}_{ma\text{x}}}={{\omega }^{2}}A\]

\[\Rightarrow \omega =\frac{{{a}_{ma\text{x}}}}{{{v}_{ma\text{x}}}}\to T=2\pi \frac{{{v}_{ma\text{x}}}}{{{a}_{ma\text{x}}}}=4\text{s}\]

• Đáp án A

 

Hướng dẫn

Tốc độ cực đại của vật \[{{v}_{ma\text{x}}}=\omega A=5\pi \]cm/s

• Đáp án C

 

Hướng dẫn

Tần số góc của dao động \[\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=10\sqrt{10}\]rad/s

+ Tốc độ của con lắc khi nó đi qua vị trí \[x=2,5cm\]

\[\left| v \right|=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=10\sqrt{10}\sqrt{{{\left( {{10.10}^{-2}} \right)}^{2}}-{{\left( {{2,5.10}^{-2}} \right)}^{2}}}=3,06\]cm/s

Đáp án B

C: BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 6: Trong dao động điều hòa, gia tốc biến đổi:

          A. Cùng pha với li độ.                                      B. Sớm pha \[\frac{\pi }{2}\] so với li độ.

          C. Ngược pha với li độ.                                          D. Trễ pha \[\frac{\pi }{2}\] so với li độ.

Câu 7: Phát biểu nào sau đây là sai? Khi một vật dao động điều hoà thì:

          A. Li độ biến thiên vuông pha so với vận tốc.

          B. Động năng và thế năng biến thiên vuông pha nhau.

          C. Li độ và gia tốc ngược pha nhau.

          D. Gia tốc và vận tốc vuông pha nhau.

Câu 8: Một con lắc lò xo dao động điều hòa. Lò xo có độ cứng k = 80 N/m. Trong một chu kì, con lắc đi được một đoạn đường dài 20 cm. Cơ năng của con lắc bằng bao nhiêu?

          A. 40 J.                        B. 0,1 J.                       C. 0,4 J.        D. 4 J.

Câu 9: Gia tốc của một vật dao động điều hòa

          A. Luôn ngược pha với li độ và có độ lớn tỉ lệ với li độ

          B. Luôn hướng về vị trí cân bằng và có độ lớn không đổi.

          C. Có giá trị cực tiểu khi vật đổi chiều chuyển động.

          D. Có giá trị cực đại khi vật ở vị trí biên

Câu 10: Một con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng k = 10N/m và vật nặng có khối lượng 100g, tại thời điểm t li độ và tốc độ của vật nặng lần lượt là 4cm và 30 cm/s. Chọn gốc tính thế năng tại vị trí cân bằng. Cơ năng của dao động là:

          A. 25.10 ^{– 3} J.                B. 125J.                       C. 12,5.10 ^{– 3} J.      D. 250 J.

Câu 11: Chọn đáp án đúng. Biết rằng li độ \[x=Ac\text{os}\left( \omega t \right)\]của dao động điều hòa bằng A vào thời điểm ban đầu t = 0. Pha ban đầu φ có giá trị bằng:

          A. 0.                            B.\[\frac{\pi }{2}\]       C. \[\frac{\pi }{4}\]                     D. π

Câu 12: Gọi A là biên độ dao động của một con lắc lò xo. Động năng của vật bằng ba lần thế năng của lò xo tại vị trí có li độ bằng bao nhiêu?

          A. \[\frac{A}{4}\]        B. \[\frac{A}{2}\]        C. \[\frac{2A}{3}\]                     D. \[\frac{A}{3}\]

Câu 13: Trong dao động điều hoà của một vật thì tập hợp ba đại lượng nào sau đây là không đổi theo thời gian?

          A. Biên độ, tần số, cơ năng dao động.               B. Biên độ, tần số, gia tốc.

          C. Lực phục hồi, vận tốc, cơ năng dao động.    D. Động năng, tần số, lực hồi phục.

Câu 14: Một vật khối lượng 5kg treo vào một lò xo và dao động theo phương thẳng đứng với chu kì 0,5 s. Hỏi độ dãn của lò xo khi vật qua vị trí cân bằng là bao nhiêu? Lấy g = 10m/s².

A. 0,75 cm.                            B. 6,2 cm.                    C. 1,5 cm.         D. 3,13 cm.

Câu 15: Phương trình dao động của một vật dao động điều hòa là \[x=-10\cos \left( 5\pi t \right)\]cm. Câu nào dưới đây sai?

          A. Pha ban đầu φ = π rad.                                 B. Tần số góc ω = 5π rad/s.

          C. Biên độ dao động \[A=-10\]cm                     D. Chu kì T = 0,4 s.

Câu 16: Chất điểm có khối lượng m₁ = 50 g dao động điều hoà quanh vị trí cân bằng của nó với phương trình dao động \[{{x}_{1}}=5\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{6} \right)\] cm. Chất điểm có khối lượng m₂ = 100 g dao động điều hoà quanh vị trí cân bằng của nó với phương trình dao động\[{{x}_{2}}=5\cos \left( \pi t-\frac{\pi }{6} \right)\] cm. Tỉ số cơ năng trong quá trình dao động điều hoà của chất điểm m₁ so với chất điểm m₂ bằng

          A. 2.                            B. \[\frac{1}{2}\]         C. 1.       D. \[\frac{1}{5}\]

Câu 17: Điểm M dao động điều hòa theo phương trình \[x=2,5\cos \left( 10\pi t+\frac{\pi }{6} \right)\] cm. Vào thời điểm nào thì pha dao động đạt giá trị \[\frac{\pi }{3}\] ?

          A. \[t=\frac{1}{50}\]s  B. \[t=\frac{1}{30}\]s  C. \[t=\frac{1}{40}\]s                 D. \[t=\frac{1}{60}\]s

Câu 18: Con lắc lò xo dao đông điều hoà với tần số 2 Hz, khối lượng quả nặng là 100 g, lấy \[{{\pi }^{2}}=10\]. Độ cứng của lò xo:

          A. 1600 N/m                B. 1 N/m                      C. 16 N/m    D. 16000N/m

Câu  19: Một vật dao động điều hòa theo phương ngang trên đoạn thẳng dài 20 cm với chu kì T = 2s. Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm của quỹ đạo. Phương trình dao động của vật là:

          A. \[x=20\cos \left( \pi t-\frac{\pi }{2} \right)\]cm                                                                  B. \[x=20\cos \left( 2\pi t+\pi  \right)\]cm

          C. \[x=20\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)\]cm                                                                  D. \[x=20\cos \left( \pi t \right)\]cm

Câu 20: Một đầu của lò xo được treo vào điểm cố định O, đầu kia treo một quả nặng m₁ thì chu kỳ dao động là \[{{T}_{1}}=0,6s\]. Khi thay quả nặng m₂ vào thì chu kỳ dao động bằng T₂ = 0,8s. Tính chu kỳ dao động khi treo đồng thời m₁ và m₂ vào lò xo.

          A. T = 1,4s                   B. T = 0,2s                  C. T = 1s              D. T = 0,48s

Câu 21: Một con lắc lò xo gồm vật m và độ cứng k dao động điều hòa. Nếu tăng độ cứng k lên 3 và giảm khối lượng m xuống 12 lần thì tần số dao động của vật sẽ

          A. tăng 2 lần                B. tăng 6 lần                 C. giảm 6 lần      D. giảm 2 lần

Câu 22: Khi nói về dao động điều hòa của một chất điểm, phát biểu nào sau đây là sai:

          A. Khi chất điểm đến vị trí cân bằng nó có tốc độ cực đại, gia tốc bằng 0.

          B. Khi chất điểm đến vị trí biên, nó có tốc độ bằng 0 và độ lớn gia tốc cực đại.

          C. Sau khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng, gia tốc và vận tốc đổi chiều.

          D. Khi chất điểm qua vị trí biên, nó đổi chiều chuyển động nhưng gia tốc không đổi chiều.

Câu 23: Chọn câu đúng trong các câu sau khi nói về năng lượng dao động điều hòa:

          A. Khi vật chuyển động về vị trí cân bằng thì thế năng của vật tăng.

          B. Khi động năng của vật tăng thì thế năng của vật cũng tăng.

          C. Khi vật dao động ở vị trí cân bằng thì động năng lớn nhất.

          D. Khi vật chuyển động về vị trí biên thì động năng vật tăng.

Câu 24: Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ  cm. Vật nhỏ của con lắc có khối lượng 100g, lò xo có độ cứng 100 N/m. Khi vật nhỏ có vận tốc \[10\sqrt{10}\] cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là

          A. 4 m/s².                     B. 10 m/s².                   C. \[10\sqrt{3}\] m/s².                 D. 5 m/s².

Câu 25: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa với chu kì 0,4 s. Khi vật ở vị trí cân bằng, lò xo dài 44 cm. Lấy g = p² m/s². Chiều dài tự nhiên của lò xo là

          A. 36cm.                      B. 40cm.                      C. 42cm. D. 38cm.

Câu 26: Một con lắc lò xo dao động điều hòa. Biết lò xo có độ cứng 36 N/m và vật nhỏ có khối lượng 100g. Lấy p² = 10. Động năng của con lắc biến thiên theo thời gian với tần số.

          A. 6 Hz.                       B. 3 Hz.                       C. 12 Hz.     D. 1 Hz.

Câu 27: Một vật nhỏ khối lượng 100g dao động điều hòa với chu kì 0,2 s và cơ năng là 0,18 J (mốc thế năng tại vị trí cân bằng); lấy π² = 10. Tại li độ \[3\sqrt{2}\]cm, tỉ số động năng và thế năng là

          A. 3                             B. 4                              C. 2        D.1

Câu 28: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình \[x=6\cos \left( \pi t \right)\] (x tính bằng cm; t tính bằng s). Phát biểu nào sau đây đúng?

          A. Tốc độ cực đại của chất điểm là 18,8 cm/s.

          B. Chu kì của dao động là 0,5 s.

          C. Gia tốc của chất điểm có độ lớn cực đại là 113 cm/s².

          D. Tần số của dao động là 2 Hz.

Câu 29: Một con lắc lò xo gồm quả cầu nhỏ khối lượng 500 g và lò xo có độ cứng 50 N/m. Cho con lắc dao động điều hòa trên phương nằm ngang. Tại thời điểm vận tốc của quả cầu là 0,1 m/s thì gia tốc của nó là \[-\sqrt{3}\]m/s². Cơ năng của con lắc là

          A. 0,01 J.                     B. 0,02 J.                     C. 0,05 J.        D. 0,04 J.

Câu 30: Khi nói về dao động điều hòa, phát biểu nào sau đây đúng?

          A. Dao động của con lắc đơn luôn là dao động điều hòa.

          B. Cơ năng của vật dao động điều hòa không phụ thuộc biên độ dao động.

          C. Hợp lực tác dụng lên vật dao động điều hòa luôn hướng về vị trí cân bằng.

          D. Dao động của con lắc lò xo luôn là dao động điều hòa.

 

 

Đáp án

6.C	7.C	8.B	9.A	10.A	11.A
12..B	13.A	14.B	15.C	16.B	17.D
18.C	19.C	20.C	21.A	22.C	23.C
24.C	25.B	26.A	27.D	28.A	29.A 30.C

 

 

Bài viết gợi ý: