Mệnh đề và mệnh đề chứa biến

Mệnh đề và mệnh đề chứa biến

A. Lý thuyết

I. Mệnh đề

Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc câu khẳng định sai.
Một mệnh đề không vừa đúng, vừa sai.
Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X thì ta được một mệnh đề đúng hoặc sai.

II. Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P:
Mệnh đề “không phải P” là mệnh đề phủ định của P. Kí hiệu: \[\overline{P}\].
Nếu P đúng thì \[\overline{P}\] sai và ngược lại nếu P sai thì \[\overline{P}\] đúng.

III. Mệnh đề kéo theo

Cho hai mệnh đề P và Q
Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo. Kí hiệu \[P\Rightarrow Q\].
Mệnh đề kéo theo \[P\Rightarrow Q\] chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Chú ý: P được gọi là giả thiết và Q gọi là kết luận.

IV. Mệnh đề đảo

Cho hai mệnh đề P và Q.
Mệnh đề kéo theo \[P\Rightarrow Q\] khi đó mệnh đề \[Q\Rightarrow P\] được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề \[P\Rightarrow Q\].

V. Mệnh đề tương đương

Cho hai mệnh đề P và Q
Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương. Kí hiệu: \[P\Leftrightarrow Q\].
Mệnh đề \[P\Leftrightarrow Q\] đúng khi chỉ khi P, Q cùng đúng hoặc cùng sai.
Chú ý: Nếu mệnh đề \[P\Leftrightarrow Q\] là một định lý thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q.

VI. Kí hiệu \[\forall \](với mọi) và \[\exists \](tồn tại).

Mệnh đề \[\forall x\in X,P\left( x \right)\] và \[\exists x\in X,P\left( x \right)\]
Mệnh đề phủ định của mệnh đề \[\forall x\in X,P\left( x \right)\] là \[\exists x\in X,\overline{P\left( x \right)}\].
Mệnh đề phủ định của mệnh đề \[\exists x\in X,P\left( x \right)\] là \[\forall x\in X,\overline{P\left( x \right)}\].

B. Bài tập

I. Bài tập minh họa

Câu 1: Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề?

1. Hãy mở cửa ra.

2. Số 20 chia hết cho 8

3. Số 17 là một số nguyên tố.

4. Bạn có thích chơi với mèo không?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải: Chọn B.

Theo lý thuyết, mệnh đề là khẳng định đúng hoặc sai, không vừa đúng, vừa sai. Nên 1 và 4 không là mệnh đề. Vậy chỉ có 2, 3 là mệnh đề.

Câu 2: Trong các câu sau, câu nào không là mệnh đề?

A. Paris có phải thủ đô nước Lào không?

B. Paris là thủ đô nước Việt Nam.

C. 2+1=4.

D. Lan năm nay 2 tuổi.

Lời giải: Chọn A.

Vì đáp án A là câu hỏi không phải câu khẳng định.

Câu 3: Phủ định của mệnh đề: “Dơi là một loài chim” là

A. Dơi không phải là một loài chim.

B. Chim cùng loài với dơi.

C. Dơi là loài có cánh.

D. Dơi không biết hát.

Lời giải: Chọn A.

Theo định nghĩa ta chọn đáp án A.

Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu n là một số nguyên lẻ thì \[{{n}^{2}}\] cũng là số nguyên lẻ.

B. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó thỏa mãn AC=BD.

C. Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 3 là tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.

D. Tam giác ABC cân tại A khi chỉ khi AB=AC.

Lời giải: Chọn B.

Vì hình chữ nhật cần thêm nhiều điều kiện khác chứ không chỉ AC=BD.

Câu 5: Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \[\exists n\in Z,n\left( n+1 \right)\] là số lẻ.

B. \[\forall x\in R,{{x}^{2}}-2x-1>0\].

C. \[\forall n\in N,n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\] chia hết cho 6.

D. \[\forall n\in N,{{2}^{n}}+1\] là số nguyên tố.

Lời giải: Chọn C.

Vì tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì luôn chia hết cho cả 2 và 3. Nên chúng chia hết cho 6.

II. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho mệnh đề \[A\Rightarrow B\] đúng và \[A\Leftrightarrow B\] sai. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. \[A\Rightarrow B\] B. \[B\Rightarrow A\] C. \[B\Rightarrow \overline{A}\] D. Cả A, B, C

Câu 2: A là mệnh đề sai, còn B là mệnh đề đúng. Mệnh đề nào đúng.

A. \[B\Rightarrow A\] B. \[A\Leftrightarrow B\] C. \[\overline{B}\Rightarrow \overline{A}\] D. \[B\Rightarrow \overline{A}\]

Câu 3: A là mệnh đề đúng, B là mệnh đề sai, C là mệnh đề đúng. Mệnh đề sai là

A. \[A\Rightarrow C\] B. \[\left( \overline{B}\Rightarrow C \right)\Rightarrow A\]

C. \[C\Rightarrow \left( A\Rightarrow B \right)\] D. \[C\Rightarrow \left( A\Rightarrow \overline{B} \right)\]

Câu 4: Mệnh đề nào sau đây có mệnh đề phủ định đúng?

A. \[\forall n\in R:2n\ge n\] B.

C. \[\exists x\in Q:{{x}^{2}}=2\] D. \[\exists x\in R:{{x}^{2}}-3x+1=0\]

Câu 5: Cho mệnh đề chứa biến \[''P\left( x \right)={{x}^{2}}-3x+2=0''\]. Mệnh đề P(x) đúng khi nào?

A. x=0 B. x=1 C. x=-2 D. x=3

Câu 6: Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

1. Tồn tại số tự nhiên n sao cho \[{{n}^{2}}+1\] chia hết cho 2.

2. Với mọi số thực x, \[{{x}^{2}}+2x+1\] luôn dương.

3. Nếu n là số tự nhiên chia hết cho 3 thì \[{{n}^{2}}\] chia hết cho 9.

4. Tồn tại số tự nhiên n sao cho \[{{n}^{2}}+n+5\] chia hết cho 77.

A. 1 B. 3 C. 2 D. 4

Câu 7: Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề \[\forall m\in Z,\exists n\in Z:{{m}^{2}}-{{n}^{2}}=1\].

A. \[\exists m\in Z,\forall n\in Z:{{m}^{2}}-{{n}^{2}}\ne 1\].

B. \[\exists m\in Z,\forall n\in Z:{{m}^{2}}-{{n}^{2}}=1\].

C. \[\exists m\in Z,\exists n\in Z:{{m}^{2}}-{{n}^{2}}\ne 1\].

D. \[\forall m\in Z,\forall n\in Z:{{m}^{2}}-{{n}^{2}}=1\].

Câu 8: Phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề: “Tồn tại một loài thú có nhiệt độ thân thể nhỏ hơn \[{{35}^{0}}C\]”.

A. Mọi loài thú có nhiệt độ thân thể nhỏ hơn \[{{35}^{0}}C\].

B. Tồn tại một loài thú có nhiệt độ thân thể trên \[{{35}^{0}}C\].

C. Mọi loài thú có nhiệt độ thân thể không nhỏ hơn \[{{35}^{0}}C\].

D. Mọi loài thú có nhiệt độ thân thể lớn hơn \[{{35}^{0}}C\].

Câu 9: Cho các mệnh đề P, Q, R trong đó R là mệnh đề đúng. Gọi x, y là giá trị của các mệnh đề P, Q, x, y nhận các giá trị đúng hoặc sai. Có tất cả bao nhiêu cặp giá trị (x,y) sao cho mệnh đề \[\left( R\Rightarrow P \right)\Leftrightarrow \left( R\Rightarrow Q \right)\] đúng.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 10: Cho mệnh đề chứa biến \[P\left( x \right):x+2>{{x}^{2}}\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. P(3) B. P(1) C. P(-1) D. P(0)

Đáp án bài tập tự luyện