MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
A.LÝ THUYẾT
1.Vi phân của hàm số
Vi phân của hàm số \[y=f(x)\] được kí hiệu \[dy\] và cho bởi \[dy=df(x)=y'dx=f'(x)dx\]
2. Nguyên hàm
a.Định nghĩa
Cho hàm số \[f(x)\] xác định trên \[K\] .Hàm số \[F(x)\] được gọi là nguyên hàm của \[f(x)\]trên \[K\] nếu \[F'(x)=f(x)\] với mọi \[x\] thuộc \[K\]
b.Định lí
Định lí 1: nếu \[F(x)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f(x)\] trên \[K\] thì mỗi hằng số \[C\], hàm số \[G(x)=F(x)+C\] cũng là một nguyên hàm của \[f(x)\] trên \[K\]
Định lí 2: : nếu \[F(x)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f(x)\] trên \[K\] thì mọi nguyên hàm của hàm số \[F(x)\] trên \[K\] đều có dạng \[F(x)+C\] với \[C\]là một hằng số
c.Tính chất của nguyên hàm
Nếu \[f(x)\] và \[g(x)\]là hai hàm số liên tục trên \[K\]thì
Tính chất 1:\[\int{f'(x)dx=}f(x)+C\]
Tính chất 2:\[\int{k.f(x)dx=k\int{f(x)dx.}}\]
Tính chất 3:\[\int{\left[ f(x)\pm g(x) \right]dx=}\int{f(x)dx\pm \int{g(x)dx}}\]
d.Bảng nguyên hàm công thức
.png)
Đăc biệt:\[\int{0dx=}C;\int{dx=x+c}\]
B.BÀI TẬP MINH HỌA:
Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của hàm số \[f(x)=3x+\cos 3x\]
\[A.3(1+\sin 3x)+C\] \[B.\frac{3{{x}^{2}}}{2}+\frac{\sin 3x}{3}+C\] \[C.\frac{3{{x}^{2}}}{2}-\frac{\sin 3x}{3}+C\] \[D.3{{x}^{2}}+\sin 3x+C\]
Lời giải: Ta có \[\int{(}3x+\cos 3x)dx=\frac{3{{x}^{2}}}{2}+\frac{\sin 3x}{3}+C.\]
Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của ham số \[f(x)={{2}^{x}}+{{e}^{x}}\]
\[A{{.2}^{x}}\ln 2+{{e}^{x}}+C\] \[B..\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+{{e}^{x}}+C\] \[C{{.2}^{x+1}}+{{e}^{x+1}}+C\] \[D.\frac{{{2}^{x+1}}+{{e}^{x+1}}}{x+1}+C\]
Lời giải:\[\int{\left( {{2}^{x}}+{{e}^{x}} \right)}=\int{{{2}^{x}}dx+\int{{{e}^{x}}dx=}}\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+{{e}^{x}}+C\]
Bài tập 3: cho \[F(x)\] là một nguyên hàm của hàm số\[f(x)=2\cos 3x-{{3}^{x-1}}\] thỏa mãn \[F(0)=0\].Tìm \[F(x)\]
\[A.F(x)=\frac{2\sin 3x}{3}-\frac{{{3}^{x-1}}}{\ln 3}+\frac{1}{3\ln 3}\] \[B.F(x)=-\frac{2\sin 3x}{3}-\frac{{{3}^{x-1}}}{\ln 3}+\frac{1}{3\ln 3}\]\[C.F(x)=\frac{2\sin 3x}{3}-\frac{{{3}^{x}}}{\ln 3}+\frac{1}{\ln 3}\] \[D.F(x)=-\frac{2\sin 3x}{3}-\frac{{{3}^{x}}}{\ln 3}+\frac{1}{3\ln 3}\]
Lời giải : Ta có \[F(x)=\int{f(x)dx}=\int{2\cos 3xdx-\int{{{3}^{x-1}}dx=\frac{2\sin 3x}{3}-}}\frac{1}{3}\int{{{3}^{x}}}dx=\frac{2\sin 3x}{3}-\frac{{{3}^{x-1}}}{\ln 3}+C\]
Mặc khác\[F(0)=0\]\[\Rightarrow -\frac{1}{3\ln 3}+C=0\Leftrightarrow C=\frac{1}{3\ln 3}\]
Vậy chọn\[A.F(x)=\frac{2\sin 3x}{3}-\frac{{{3}^{x-1}}}{\ln 3}+\frac{1}{3\ln 3}\]
Bài tập 4:cho \[F(x)\]là một nguyên hàm của hàm số \[f(x)={{e}^{x}}+2x\] thõa mãn \[F(0)=\frac{3}{2}\].Tìm\[F(x)\].
\[A.{{e}^{x}}+{{x}^{2}}+\frac{3}{2}\] \[B.2{{e}^{x}}+{{x}^{2}}-\frac{1}{2}\]
\[C.{{e}^{x}}+{{x}^{2}}+\frac{5}{2}\] \[D.{{e}^{x}}+{{x}^{2}}+\frac{1}{2}\]
Lời giải: Ta có \[F(x)=\int{\left( {{e}^{x}}+2x \right)}dx={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+C\]
Mà \[F(0)=\frac{3}{2}\Rightarrow 1+C=\frac{3}{2}\Rightarrow C=\frac{1}{2}\].Chọn D
Bài tập 5: cho hàm số \[f(x)\] xác định trên\[\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\] thỏa mãn \[f'(x)=\frac{3}{x+1};f(0)=1\] và \[f(1)+f(-2)=2\].Tính giá trị của\[f(-3)\]:
\[A.1+2\ln 2\] \[B.1-\ln 2\] \[C.1\] \[D2+\ln 2\]\
Lời giải: Ta có \[\int{f'}(x)dx=3\ln \left| x+1 \right|+C\left( x\ne -1 \right)\]
Nếu \[x\succ -1\Rightarrow f(x)=3\ln (x+1)+{{C}_{1}}f(0)=1\Rightarrow {{C}_{1}}=1\]
Vậy \[f(x)=3\ln (x+1)+1\]
Tương tự \[f(x)=3\ln (x+1)+{{C}_{2}}\]khi \[x\prec -1\]
Do \[f(1)+f(-2)=2\Rightarrow {{C}_{2}}=1-3\ln 2\]
Suy ra \[f(-3)=3\ln 2+1-3\ln 2=1\].Chon C
Bài Tập 6: Biết rằng \[F(x)=(a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d){{e}^{x}}\]là một nguyên hàm của hàm số \[f(x)=(2{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-2x+5){{e}^{x}}\].Tính\[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}\]
A.244 B.247 C.245 D.246
Lời giải: Ta có \[F'(x)=(3a{{x}^{2}}+bx+c){{e}^{x}}+\left( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d \right){{e}^{x}}\]
\[=\left[ a{{x}^{3}}+\left( 3a+b \right){{x}^{2}}+\left( 2b+c \right)x+c+d \right]{{e}^{x}}\]
Do đó: .png)
C.Bài tập tự luyện:
Câu 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số \[f(x)=3{{x}^{2}}+1\]
Câu 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số \[f(x)={{7}^{x}}\]
Câu 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số \[f(x)=cos3x\]
Câu 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số \[f(x)={{(\sin x)}^{2}}\]
Câu 5: cho hàm số \[f(x)\] thỏa mản\[f'(x)=3-5\sin x\] và \[f\left( 0 \right)=10\].Tìm\[f(x)\]
Câu 6:Biết rằng \[F(x)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f(x)={{e}^{2x}}\] thỏa mãn \[F(0)=\frac{3}{2}\].Tính \[F(\frac{1}{2})\].
Câu 7: Gọi \[F(x)=(a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d){{e}^{x}}\]là một nguyên hàm số \[f(x)=(6{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}-2x-5){{e}^{x}}\].Tính \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}\]
Câu 8:Giải sử một nguyên hàm của hàm số \[f(x)=\tfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{3}}}}+\frac{1}{\sqrt{x}{{\left( 1+\sqrt{x} \right)}^{2}}}\] có dạng \[A\sqrt{1-{{x}^{3}}}+\frac{B}{1+\sqrt{x}}\]. Tìm A+B
Câu 9: Gọi \[F(x)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f(x)=({{x}^{2}}+1)\] thỏa\[F\left( 1 \right)=\frac{28}{15}\].Tính giá trị của biểu thức \[T=5F(6)-30F\left( 4 \right)+18\]
Câu 10: Gọi \[F(x)\] là một nguyên hàm của hàm số\[f\left( x \right)={{\left( 2x+3 \right)}^{2}}\] thỏa \[F\left( 0 \right)=\frac{1}{3}\]. Tính giá trị của biểu thức \[T={{\log }_{2}}\left[ 3F\left( 1 \right)-2F\left( 2 \right) \right]\].
