MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM

A.LÝ THUYẾT

1.Vi phân của hàm số

    Vi phân của hàm số \[y=f(x)\] được kí hiệu \[dy\] và cho bởi \[dy=df(x)=y'dx=f'(x)dx\]

2. Nguyên hàm

a.Định nghĩa

Cho hàm số \[f(x)\] xác định trên \[K\] .Hàm số  \[F(x)\] được gọi là nguyên hàm của  \[f(x)\]trên \[K\] nếu  \[F'(x)=f(x)\] với mọi \[x\] thuộc \[K\]

b.Định lí

Định lí 1: nếu \[F(x)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f(x)\] trên  \[K\] thì mỗi hằng số  \[C\], hàm số  \[G(x)=F(x)+C\] cũng là một nguyên hàm của  \[f(x)\]  trên  \[K\]

Định lí 2: : nếu \[F(x)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f(x)\] trên  \[K\]  thì mọi nguyên hàm của hàm số  \[F(x)\]  trên  \[K\] đều có dạng \[F(x)+C\] với \[C\]là một hằng số

c.Tính chất của nguyên hàm

Nếu \[f(x)\] và  \[g(x)\]là hai hàm số liên tục trên \[K\]thì

Tính chất 1:\[\int{f'(x)dx=}f(x)+C\]

Tính chất 2:\[\int{k.f(x)dx=k\int{f(x)dx.}}\]

Tính chất 3:\[\int{\left[ f(x)\pm g(x) \right]dx=}\int{f(x)dx\pm \int{g(x)dx}}\]

d.Bảng nguyên hàm công thức

Đăc biệt:\[\int{0dx=}C;\int{dx=x+c}\]

B.BÀI TẬP MINH HỌA:

Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của hàm số  \[f(x)=3x+\cos 3x\]

\[A.3(1+\sin 3x)+C\]           \[B.\frac{3{{x}^{2}}}{2}+\frac{\sin 3x}{3}+C\]           \[C.\frac{3{{x}^{2}}}{2}-\frac{\sin 3x}{3}+C\]          \[D.3{{x}^{2}}+\sin 3x+C\]

Lời giải: Ta có \[\int{(}3x+\cos 3x)dx=\frac{3{{x}^{2}}}{2}+\frac{\sin 3x}{3}+C.\]

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của ham số \[f(x)={{2}^{x}}+{{e}^{x}}\]

\[A{{.2}^{x}}\ln 2+{{e}^{x}}+C\]              \[B..\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+{{e}^{x}}+C\]        \[C{{.2}^{x+1}}+{{e}^{x+1}}+C\]       \[D.\frac{{{2}^{x+1}}+{{e}^{x+1}}}{x+1}+C\]

Lời giải:\[\int{\left( {{2}^{x}}+{{e}^{x}} \right)}=\int{{{2}^{x}}dx+\int{{{e}^{x}}dx=}}\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+{{e}^{x}}+C\]

Bài tập 3: cho \[F(x)\] là một nguyên hàm của hàm số\[f(x)=2\cos 3x-{{3}^{x-1}}\] thỏa mãn \[F(0)=0\].Tìm \[F(x)\]

\[A.F(x)=\frac{2\sin 3x}{3}-\frac{{{3}^{x-1}}}{\ln 3}+\frac{1}{3\ln 3}\]                           \[B.F(x)=-\frac{2\sin 3x}{3}-\frac{{{3}^{x-1}}}{\ln 3}+\frac{1}{3\ln 3}\]\[C.F(x)=\frac{2\sin 3x}{3}-\frac{{{3}^{x}}}{\ln 3}+\frac{1}{\ln 3}\]                              \[D.F(x)=-\frac{2\sin 3x}{3}-\frac{{{3}^{x}}}{\ln 3}+\frac{1}{3\ln 3}\]

Lời giải : Ta có \[F(x)=\int{f(x)dx}=\int{2\cos 3xdx-\int{{{3}^{x-1}}dx=\frac{2\sin 3x}{3}-}}\frac{1}{3}\int{{{3}^{x}}}dx=\frac{2\sin 3x}{3}-\frac{{{3}^{x-1}}}{\ln 3}+C\]

Mặc khác\[F(0)=0\]\[\Rightarrow -\frac{1}{3\ln 3}+C=0\Leftrightarrow C=\frac{1}{3\ln 3}\]

Vậy chọn\[A.F(x)=\frac{2\sin 3x}{3}-\frac{{{3}^{x-1}}}{\ln 3}+\frac{1}{3\ln 3}\]

Bài tập 4:cho \[F(x)\]là một nguyên hàm của hàm số \[f(x)={{e}^{x}}+2x\] thõa mãn \[F(0)=\frac{3}{2}\].Tìm\[F(x)\].

\[A.{{e}^{x}}+{{x}^{2}}+\frac{3}{2}\]                                            \[B.2{{e}^{x}}+{{x}^{2}}-\frac{1}{2}\]

\[C.{{e}^{x}}+{{x}^{2}}+\frac{5}{2}\]                                            \[D.{{e}^{x}}+{{x}^{2}}+\frac{1}{2}\]

Lời giải: Ta có \[F(x)=\int{\left( {{e}^{x}}+2x \right)}dx={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+C\]

             Mà \[F(0)=\frac{3}{2}\Rightarrow 1+C=\frac{3}{2}\Rightarrow C=\frac{1}{2}\].Chọn D

Bài tập 5: cho hàm số \[f(x)\] xác định trên\[\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\] thỏa mãn \[f'(x)=\frac{3}{x+1};f(0)=1\] và \[f(1)+f(-2)=2\].Tính giá trị của\[f(-3)\]:

\[A.1+2\ln 2\]                     \[B.1-\ln 2\]                             \[C.1\]                                    \[D2+\ln 2\]\

Lời giải: Ta có \[\int{f'}(x)dx=3\ln \left| x+1 \right|+C\left( x\ne -1 \right)\]  

Nếu \[x\succ -1\Rightarrow f(x)=3\ln (x+1)+{{C}_{1}}f(0)=1\Rightarrow {{C}_{1}}=1\]

Vậy      \[f(x)=3\ln (x+1)+1\]

Tương tự \[f(x)=3\ln (x+1)+{{C}_{2}}\]khi \[x\prec -1\]

Do \[f(1)+f(-2)=2\Rightarrow {{C}_{2}}=1-3\ln 2\]

Suy ra \[f(-3)=3\ln 2+1-3\ln 2=1\].Chon C

Bài Tập 6: Biết rằng \[F(x)=(a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d){{e}^{x}}\]là một nguyên hàm của hàm số \[f(x)=(2{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-2x+5){{e}^{x}}\].Tính\[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}\]

A.244                        B.247                   C.245                           D.246

Lời giải: Ta có \[F'(x)=(3a{{x}^{2}}+bx+c){{e}^{x}}+\left( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d \right){{e}^{x}}\]

                                   \[=\left[ a{{x}^{3}}+\left( 3a+b \right){{x}^{2}}+\left( 2b+c \right)x+c+d \right]{{e}^{x}}\]

Do đó:          

C.Bài tập tự luyện:

Câu 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số  \[f(x)=3{{x}^{2}}+1\]

Câu 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số  \[f(x)={{7}^{x}}\]

Câu 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số \[f(x)=cos3x\]

Câu 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số  \[f(x)={{(\sin x)}^{2}}\]

Câu 5: cho hàm số \[f(x)\] thỏa mản\[f'(x)=3-5\sin x\] và \[f\left( 0 \right)=10\].Tìm\[f(x)\]

Câu 6:Biết rằng \[F(x)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f(x)={{e}^{2x}}\] thỏa mãn \[F(0)=\frac{3}{2}\].Tính \[F(\frac{1}{2})\].

Câu 7: Gọi \[F(x)=(a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d){{e}^{x}}\]là một nguyên hàm số \[f(x)=(6{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}-2x-5){{e}^{x}}\].Tính \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}\]

Câu 8:Giải sử một nguyên hàm của hàm số \[f(x)=\tfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{3}}}}+\frac{1}{\sqrt{x}{{\left( 1+\sqrt{x} \right)}^{2}}}\] có dạng \[A\sqrt{1-{{x}^{3}}}+\frac{B}{1+\sqrt{x}}\]. Tìm A+B

Câu 9: Gọi \[F(x)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f(x)=({{x}^{2}}+1)\] thỏa\[F\left( 1 \right)=\frac{28}{15}\].Tính giá trị của biểu thức \[T=5F(6)-30F\left( 4 \right)+18\]

Câu 10: Gọi \[F(x)\] là một nguyên hàm của hàm số\[f\left( x \right)={{\left( 2x+3 \right)}^{2}}\] thỏa \[F\left( 0 \right)=\frac{1}{3}\]. Tính giá trị của biểu thức \[T={{\log }_{2}}\left[ 3F\left( 1 \right)-2F\left( 2 \right) \right]\].

 

 

 

Bài viết gợi ý: