Điều kiện: x \(\geq\) -1, phương trình đã cho tương đương với: \(x^4-x^2-x+1=\sqrt{x+1}(x^2+x-2)\Leftrightarrow (x-1)(x^3+x^2-1)\) \(=(x-1)(x+2)\sqrt{x+1}\) \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=1\\ x^3+x^2-1=\sqrt{x+1}(x+2)(1) \end{matrix}\) \((1)\Leftrightarrow x^3+x^2+x=\sqrt{x+1}[(x+1)+1]+(x+1)\) \(\Leftrightarrow x^3+x^2+x=(\sqrt{x+1})^3+(\sqrt{x+1})^2+\sqrt{x+1} \ \ (2)\) Xét hàm \(f(t)=t^3+t^2+t\) với \(t \in \mathbb{R}\) Ta có \(f'(x)=3t^2+2t+1> 0,\forall t \in\mathbb{R}\) nên f(t) đồng biến trên R Do đó: \((2)\Leftrightarrow f(x)=f(\sqrt{x+1})\Leftrightarrow x=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x^2-x-1=0 \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) Đối chiếu điều kiện, ta được 2 nghiệm của phương trình là \(x=1; x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
