Đây là các bài toán tìm tham số để hàm số đơn điệu trên miền cho trước, lời giải của mình như thế này, bạn tham khảo:

a) Hàm số đã cho xác định trên R.
\(y'=3x^2+6x+m+1\)
Hàm số nghịch biến trên
\((-1;1) \ \ y'\leq 0, \forall x\in (-1;1)\)
\(\Leftrightarrow m\leq -(3x^2+6x+1), \forall x\in (-1;1)\)
\(\Leftrightarrow m\leq \underset{(-1;1)}{min} \ g(x)\) với \(g(x)=-(3x^2+6x+1)\)
Ta có:
\(g'(x)=-6(x+1)<0, \forall x\in (-1;1)\)
Bảng biến thiên:

Kết luận: Dựa vào bảng biến thiên suy ra \(m\leq -10\)
b) YCBT \(\Leftrightarrow y'\geq 0, \forall x\in (2;+\infty )\)
\(\Leftrightarrow mx^2+4(m-1)x+m-1\geq 0, \forall x\in (2;+\infty )\)
\(\Leftrightarrow (x^2+4x+1)m\geq 4x+1, \forall x\in (2;+\infty )\)
\(\Leftrightarrow m\geq \frac{4x+1}{x^2+4x+1}\)
Vì \((x^2+4x+1>0, \forall x\in (2;+\infty ))\)
Xét hàm số \(g(x)=\frac{4x+1}{x^2+4x+1}\) liên tục trên \((2;+\infty )\)
Ta có:
\(g'(x)=-\frac{(4x^2+2x)}{(x^2+4x+1)^2}<0, \forall x\in (2;+\infty )\)
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra: \(m\geq \frac{9}{13}\)

Lời giải rất chi tiết rõ ràng dễ hiểu, mình có bài tập này mời các bạn cùng giải xem sau, mình giải ra m <=-4/5 đó, có bạn nào ra giống đáp số không?

Cho hàm số \(y=-\frac{m-1}{3}x^3+(m+2)x^2+3mx+5\) với m là tham số thực. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty ;-2)\)

Ta có:
\(y'=-(m-1)x^2+2(m+2)x+3m\)
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty ;-2)\Leftrightarrow y'\geq 0, \forall x\in (-\infty ;-2) \ (*)\)
Vì y'(x) liên tục tại x = -2 nên (*)
\(\Leftrightarrow y'\geq 0, \forall x\in (-\infty ;-2] \ \ (*)\)
\(\Leftrightarrow -m(m-1)x^2+2(m+1)x+3m\geq 0, \forall x\in (-\infty ;-2]\)
\(\Leftrightarrow m(-x^2+2x+3)\geq -x^2-4x, \forall x\in (-\infty ;-2]\)
\(\Leftrightarrow m\leq g(x),\forall x\in (-\infty ;-2]\)
\(\Leftrightarrow m\leq Ming(x),\forall x\in (-\infty ;-2]\)
(Trong đó: \(g(x)=\frac{-x^2-4x}{-x^2+2x+3}\))

Xét hàm số: \(g(x)=\frac{-x^2-4x}{-x^2+2x+3}\) trên nửa khoảng \((-\infty ;-2]\)
\(\Rightarrow g'(x)=\frac{-6(x^2+x+2)}{(-x^2+2x+3)^2}=\frac{-6\left [ \left ( x+\frac{1}{2} \right )^2+\frac{7}{4} \right ]}{(-x^2+2x+3)^2} <0, \forall x\in (-\infty ;-2]\)
⇒ g(x) là hàm số nghịch biến trên \((-\infty ;-2]\)
\(\Rightarrow \underset{(-\infty ;-2]}{Min}g(x)=g(-2)=-\frac{4}{5}\)
Vậy \(m\leq -\frac{4}{5}\) thì hàm số đồng biến trên \((-\infty ;-2)\)

Cảm ơn long lanh nhiều nhé, mình làm cũng giống bạn.

trang lan hình như bạn quên xét trường hợp m-1=0 rồi.

C ơi cho em hỏi sao mình biết y’(x) liên tục tại -2 đc k ạ???

vì y' là một tam thức bâc 2 nên liên tục trên R , do vậy đương nhiên sẽ liên tục trên 2