\(\left\{\begin{matrix} 6xy+\frac{5}{4}y+\sqrt{x-y+1}=3x^2+3y^2+\frac{5}{4}x+\sqrt{2x-2y+1} \ \ (1)\\ \\ sin\pi x+cos\pi y=\sqrt{\frac{1}{4}-x}-\sqrt{\frac{1}{4}+y}+1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\end{matrix}\right.\)

Điều kiện: \(\left\{\begin{matrix} x\leq \frac{1}{4}\\ x-y\geq -\frac{1}{2}\\ y\geq -\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\)
Biến đổi phương trình (1) ta có:
\((x-y)(3(x-y)+\frac{5}{4})+\sqrt{2(x-y)+1}-\sqrt{(x-y)+1}=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(3(x-y)+\frac{5}{4})+\frac{x-y}{\sqrt{2(x-y)+1}+\sqrt{(x-y)+1}}=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)\bigg ( 3(x-y)+\frac{5}{4}+\frac{1}{\sqrt{2(x-y)+1}+\sqrt{(x-y)+1}} \bigg )=0\)
TH1. Với x = y thay vào phương trình (2) ta có phương trình
\(sin\pi x+cos\pi x=\sqrt{\frac{1}{4}-x}-\sqrt{\frac{1}{4}+x}+1\) (3)
Xét hàm số \(y_1=sin\pi x+cos\pi x=\sqrt{2}sin\left ( \pi x+\frac{\pi}{4} \right ); y_1'=\pi\sqrt{2}cos\left ( \pi x +\frac{\pi}{4} \right )\)
Ta có: \(-\frac{1}{4}\leq x\leq \frac{1}{4}\Leftrightarrow -\frac{\pi}{4}\leq \pi x \leq \frac{\pi}{4} \Leftrightarrow 0\leq \pi x +\frac{\pi}{4}\leq \frac{\pi}{2}\) nên hàm số y1 ĐB trên \(\left [ -\frac{1}{4};\frac{1}{4} \right ]\)
Xét hàm số \(y_2=\sqrt{\frac{1}{4}-x}-\sqrt{\frac{1}{4}+x}+1\), dễ thấy hàm số NB trên \(\left [ -\frac{1}{4};\frac{1}{4} \right ]\)
Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = 0
TH2. \(3(x-y)+\frac{5}{4}+\frac{1}{\sqrt{2(x-y)+1}+\sqrt{(x-y)+1}}=0\)
Vì \(\left\{\begin{matrix} x\leq \frac{1}{4}\\ \\ y\geq -\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Rightarrow x-y\leq \frac{1}{2}\left [ \sqrt{2(x-y)+1}+\sqrt{(x-y)+1} \right ]\leq \sqrt{2}+\sqrt{\frac{3}{2}}\)
Do đó: \(\frac{1}{\sqrt{2(x-y)+1}+\sqrt{(x-y)+1}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}> \frac{1}{3}(5)\)
Mặt khác \(x-y\geq -\frac{1}{2}\Rightarrow 3(x-y)+\frac{5}{4}\geq -\frac{1}{4}(6)\)
Từ (5), (6) suy ra phương trình (4) vô nghiệm.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = y = 0