Cho các số thực x; y; z không âm sao cho không có hai số nào đồng thời bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=(xy+yz+zx)(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2})\)

nguyenthe1911

5 năm trước

Cho các số thực x; y; z không âm sao cho không có hai số nào đồng thời bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=(xy+yz+zx)(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2})\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 263 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Tranduchoan

Giả sử \(z =min (x;y;z)\)
Khi đó ta có: \(x+y\geq 2z\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq \left ( x+\frac{z}{2} \right )\left ( y+\frac{z}{2} \right )\)

Mặt khác ta có: \(\frac{1}{x^2+y^2}\geq \frac{1}{\left ( x+\frac{z}{2} \right )^2+\left ( y+\frac{z}{2} \right )^2}\)

\(\frac{1}{y^2+z^2}\geq \frac{1}{\left ( y+\frac{z}{2} \right )^2}; \frac{1}{x^2+z^2}\geq \frac{1}{\left ( x+\frac{z}{2} \right )^2}\)
Suy ra: \(P\geq \left ( x+\frac{z}{2} \right )\left ( y+\frac{z}{2} \right )\left [ \frac{1}{\left ( x+\frac{z}{2} \right )^2+\left ( y+\frac{z}{2} \right )^2} +\frac{1}{\left ( y+\frac{z}{2} \right )}+\frac{1}{\left ( x+\frac{z}{2} \right )^2}\right ]\)

Đặt \(a=x+\frac{z}{2};b=y+\frac{z}{2}(a>0,b>0\) theo gt cho)
Ta có: \(P\geq ab\left ( \frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \right )=\left ( \frac{\frac{a}{b}}{\left ( \frac{a}{b} \right )^2+1} \right )+\frac{a}{b}+\frac{1}{\frac{a}{b}}\)

Đặt \(t=\frac{a}{b}(t>0)\) ta khảo sát hàm số:
\(f(t)=\frac{1}{t^2+1}+t+\frac{1}{t}\) (với t > 0)
\(f'(t)=\frac{t^2+1-2t^2}{(t^2+1)^2}+1-\frac{1}{t^2}=\frac{-(t^2-1)}{(t^2+1)^2}+\frac{(t^2-1)}{t^2}\)
\(=(t^2-1)\left [ \frac{1}{t^2}-\frac{1}{(t^2+1)} \right ]=0\Leftrightarrow t=1(t> 0)\)
Bảng biến thiên:

Được \(min f(t)=\frac{5}{2}\) đạt được khi \(t=1\Leftrightarrow a=b\Rightarrow x=y\)
Kết hợp được \(minP=\frac{5}{2}\) đạt khi \(x=y; z =0\)
(hoặc các hoán vị: Một số bằng 0; hai số còn lại đều bằng nhau)

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cứu với mọi người!

Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
\(y=\frac{2x+5}{6x-1}\)

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} 6xy+\frac{5}{4}y+\sqrt{x-y+1}=3x^2+3y^2+\frac{5}{4}x+\sqrt{2x-2y+1}\\ \\ sin\pi x+cos\pi y=\sqrt{\frac{1}{4}-x}-\sqrt{\frac{1}{4}+y}+1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Giải hệ phương trình trên tập số thực \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x+y+1}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=y^3+3x(y^2+xy+x-1)+1\\ \sqrt{2x^2-x+y+4}-\sqrt{21x+y-16}+x^2-x+y+1=0 \end{matrix}\right.\)

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Tìm số phức z thỏa hệ thức: \(\left | z^2+\bar{z} \right |=2\) và \(\left | z \right |=2\)

Giải phương trình \(log_3(x^2+x+1)=log_3(x+3)+1\)

Help me!

Giải bất phương trình \(x^5+x^3+4>\sqrt{1-3x}\)

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x > 2, y > 1, z > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2-2(2x+y-3)}}-\frac{1}{y(x-1)(z+1)}\)

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Tính tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1+tanx}{cos^2x}dx\)

Cho a , b , c là 3 số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)\leq \sqrt{10(a+b+c)^2-27}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{a+b}{2}}\sqrt[4]{(a+2c)(b+2c)}\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-1}\) (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Tìm điểm M thuộc đồ thi (C) sao cho khoảng cách từ M đến đến trục Oy bằng 2 lần khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (1).

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến