Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá. Cho 2 số thực \(a,b(a,b \in (0;1))\)và thỏa mãn: \((a^3+b^3)(a+b)=ab(1-a)(1-b)\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+3ab-a^2-b^2\)

Bekien2k

6 năm trước

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Cho 2 số thực \(a,b(a,b \in (0;1))\)và thỏa mãn: \((a^3+b^3)(a+b)=ab(1-a)(1-b)\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+3ab-a^2-b^2\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 486 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

hainguyen3011

\(gt\Leftrightarrow \frac{(a^3+b^3)(a+b)}{ab}=(1-a)(1-b)(*)\)
vì \(\frac{(a^3+b^3)(a+b)}{ab}=\left ( \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a} \right )(a+b)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab}=4ab\)
\((1-a)(1-b)=1-(a+b)+ab\leq 1-2\sqrt{ab}+ab\), khi đó từ (*) suy ra
\(4ab\leq 1-2\sqrt{ab}+ab\), đặt t=ab (đk t > 0)
ta được: \(4t\leq 1-2\sqrt{t}+t\Leftrightarrow 2\sqrt{t}\leq 1-3t\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0< t\leq \frac{1}{3}\\ 4t\leq (1-3t)^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 0< t\leq \frac{1}{9}\)
Ta có: \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\leq \frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{1+a^2} -\frac{1}{1+ab} \right )+\left ( \frac{1}{1+b^2} -\frac{1}{1+ab} \right )\leq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2(ab-1)}{(1+ab)(1+a^2)(1+b^2)}\leq 0\) luôn đúng với mọi \(a,b \in (0;1)\)
dấu "=" xảy ra khi a = b
vì \(\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}\leq \sqrt{2\left ( \frac{1}{1+a^2}+ \frac{1}{1+b^2} \right )}\leq \sqrt{2.\frac{2}{1+ab}}=\frac{2}{\sqrt{1+ab}}\)
và \(3ab-a^2-b^2=ab-(a-b)^2\leq ab\)
nên \(P\leq \frac{2}{\sqrt{1+ab}}+ab=\frac{2}{\sqrt{1+t}}+t\)
Xét hàm số \(f(t)=\frac{2}{\sqrt{1+t}}+t\) với \(0 có \(f'(t)=1-\frac{1}{(1+t)\sqrt{1+t}}> 0, \ \forall \ 0< t\leq \frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow f(t)\leq f(\frac{1}{9})=\frac{6}{\sqrt{10}}+\frac{1}{9}\), dấu "=" xảy ra \(\left\{\begin{matrix} a=b\\ t=ab=\frac{1}{9} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{3}\)
Vậy GTLN của P là \(\frac{6}{\sqrt{10}}+\frac{1}{9}\) đạt được tại \(a=b=\frac{1}{3}\)

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Giải phương trình: \(log_2^2(x+1)+log_2(4x+4)-4=0\)

Cho a,b,c thuộc khoảng (0;1) thoả mãn \((\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)=1\). Tìm GTNN của biểu thức P = \(a^2+b^2+c^2\)

Tính các tích phân

1) \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(x-2)\cos xdx.\)

2) \(\int_{-1}^{0}\frac{x}{x^{4}+x^{2}+1}dx\)

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Cho hàm số \(y = \frac{2x -1}{x-1}\ (C)\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục Oy.

Cứu với mọi người!

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa A'C và (ABC) bằng 600
a, Tính VABC.A'B'C'
b, Tính d(B; (ACC'A')

Tính tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin 2x}{(\sin x+2)^{2}}dx.\)

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(-3;2;1), C(4;2;0), B'(-2;1;1), D'(3;5;4)
a. Xác định tọa độ A', C', B, D và tâm K của hình hộp
b. Tìm điểm M trên đường thẳng AA' sao cho KM = \(\frac{\sqrt{59}}{2}\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A(1;2;-1), B(3;4;1) và C (4;1;-1). Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB. Tìm tọa độ điểm M trên thể trục Oz sao cho thể tích tứ diện MABC bằng 5.

Giải phương trình: \(5^{1+x^{2}}-5^{1-x^{2}}=24\).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a. Góc DAB = \(120^{\circ}\). Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa (SBD) và mặt đáy bằng \(60^{\circ}\). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến (SBC).

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến