\(ax^3-\left(a+2\right)x^2+3x-1=0\) (1)

\(ax^3-\left(a+2\right)x^2+3x-1=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(ax^2-2x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x-1=0\\ax^2-2x+1=0\end{cases}\left(2\right);\left(3\right)\)

Nhận xét rằng phương trình \(x-1=0\) (2) luôn có nghiệm x = 1

Phương trình \(ax^2-2x+1=0\) (3) có nghiệm x=1 khi và chỉ khi a=1.

Khi đó x=1 là nghiệm kép của (3)

- Nếu a=0 thì (3) có nghiệm \(x=\frac{1}{2}\)

- Nếu \(ae0\) thì (3) là phương trình bậc hai có \(\Delta'=1-a\)

+ Nếu \(\Delta'<0\)

hay a>1 thì ( 3) vô nghiệm

+ Nếu a<1, \(ae0\) thì \(\Delta'>0\)

nên phương trình (3) có hai nghiệm \(x_{1;2}=\frac{1\pm\sqrt{1-a}}{a}\)

Theo nhận xét trên thì hai nghiệm này cùng khác 1. Ta có kết luận

- Nếu \(a\ge1\) thì (1) có một nghiệm x=1 ( khi a=1 thì x = 1 là nghiệm bội ba)

- Nếu a = 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt \(x=1;x=\frac{1}{2}\)

- Nếu a < 1, \(ae0\) thì (1) có ba nghiệm phân biệt

x = 1, \(x=\frac{1-\sqrt{1-a}}{a};x=\frac{1=\sqrt{1-a}}{a}\)