Không biết chỗ \(SD=\frac{a3}{a}\) là gì nhưng mình "giả sử tạm" \(SD=a\sqrt{3}\) nhé.
Lời giải:
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ thì \(SH\perp (ABCD)\)
Từ $H$ kẻ $HK$ vuông góc với $BD$
Có: \(\left\{\begin{matrix} HK\perp BD\\ SH\perp BD\end{matrix}\right.\Rightarrow (SHK)\perp BD\)
Kẻ \(HT\perp SK. HT\subset (SHK)\Rightarrow HT\perp BD\)
Mà \(HT\perp SK\Rightarrow HT\perp mp(BD, SK)\) hay \(HT\perp (SBD)\)
Do đó:
\(d(H,(SBD))=HT\)
Ta có:
Tam giác $HKB$ vuông cân tại $K$ nên \(HK=\frac{HB}{\sqrt{2}}=\frac{a}{2\sqrt{2}}\)
Pitago: \(HD^2=AD^2-AH^2=a^2-(\frac{a}{2})^2=\frac{3a^2}{4}\)
\(SH=\sqrt{SD^2-HD^2}=\sqrt{3a^2-\frac{3a^2}{4}}=\frac{3}{2}a\)
Có: \(\frac{1}{HT^2}=\frac{1}{HS^2}+\frac{1}{HK^2}=\frac{76}{9a^2}\)
\(\Rightarrow HT=\frac{3\sqrt{19}a}{38}\)
Suy ra \(d(A,(SBD))=2d(H,(SBD))=2HT=\frac{3\sqrt{19}a}{19}\)
