Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right.\).
- Sau đó sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 3} \).
Giải chi tiết:Ta có: \(\int {g\left( x \right)dx} = \int {\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx} \).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\int {g\left( x \right)dx} = \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) - \int {f\left( x \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x + 1} \right).\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} - \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}dx} \end{array}\)
Xét nguyên hàm \(\int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}dx} \).
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 3} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 3 \Rightarrow tdt = xdx\).
\( \Rightarrow \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}dx} = \int {\dfrac{{tdt}}{t}} = \int {dt} = t + C = \sqrt {{x^2} + 3} + C\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {g\left( x \right)dx} = \dfrac{{{x^2} + x}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} - \sqrt {{x^2} + 3} + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2} + x - {x^2} - 3}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} + C\end{array}\)
Chọn D.
