Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

- Giải bất phương trình \({\log _a}f\left( x \right) \ge {\log _a}g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\\f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\end{array} \right.\).- Sử dụng phương pháp cô lập \(m\).Giải chi tiết:Ta có:\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _5}\left( {{x^2} - x + 2} \right) + 1 \ge {\log _5}\left( {{x^2} + 3x + m - 4} \right)\,\,\,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {5{x^2} - 5x + 10} \right) \ge {\log _5}\left( {{x^2} + 3x + m - 4} \right)\,\,\,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\end{array}\)\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + m - 4 > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\\5{x^2} - 5x + 10 \ge {x^2} + 3x + m - 4\,\,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - {x^2} - 3x + 4\,\,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\,\,\,\left( 1 \right)\\m \le 4{x^2} - 8x + 14\,\,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)Giải (1): \(m >  - {x^2} - 3x + 4\,\,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\).Đặt \(f\left( x \right) =  - {x^2} - 3x + 4\) ta có \(f'\left( x \right) =  - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{3}{2} \notin \left[ {0;5} \right]\).\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( x \right)\)nghịch biến trên \(\left( {0;5} \right)\) nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 4\).\( \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow m > \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( x \right) \Leftrightarrow m > 4\).Giải (2): \(m \le 4{x^2} - 8x + 14\,\,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\).Đặt \(g\left( x \right) = 4{x^2} - 8x + 14\) ta có \(g'\left( x \right) = 8x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ {0;5} \right]\).\(g\left( 0 \right) = 14,\,\,g\left( 1 \right) = 10,\,\,g\left( 5 \right) = 74\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;5} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = 10\).\( \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow m \le 10\).Vậy \(4 < m \le 10\),  mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {5;6;7;8;9;10} \right\}\) \( \Rightarrow \) Có 6 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.Chọn A