Đáp án đúng: B

Phương pháp giải:

- Rút gọn số phức \(z\).
- Thay \(z\) vào tính \(\left| {z - 1} \right|\), đưa bất phương trình về dạng \({k^2} \ge g\left( m \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {k^2} \ge \min g\left( m \right)\).
- Lập BBT hàm \(g\left( m \right)\) và tìm \(\min g\left( m \right)\).Giải chi tiết:Ta có \(z = \dfrac{{i - m}}{{1 - m\left( {m - 2i} \right)}} = \dfrac{{m - i}}{{{m^2} - 2mi - 1}} = \dfrac{{m - i}}{{{{\left( {m - i} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{m - i}}\).
Khi đó ta có: \(\left| {z - 1} \right| = \left| {\dfrac{1}{{m - i}} - 1} \right| = \left| {\dfrac{{1 - m + i}}{{m - i}}} \right| = \dfrac{{\left| {m - 1 - i} \right|}}{{\left| {m - i} \right|}} \le k\).
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1}}{{{m^2} + 1}} \le {k^2} \Leftrightarrow {k^2} \ge \dfrac{{{m^2} - 2m + 2}}{{{m^2} + 1}}\).
Bài toán trở thành tìm \({k_{\min }}\) để bất phương trình \(k \ge \dfrac{{{m^2} - 2m + 2}}{{{m^2} + 1}} = g\left( m \right)\) có nghiệm.
Ta có
\(\begin{array}{l}g'\left( m \right) = \dfrac{{\left( {2m - 2} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) - \left( {{m^2} - 2m + 2} \right).2m}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}}\\g'\left( m \right) = \dfrac{{2{m^3} + 2m - 2{m^2} - 2 - 2{m^3} + 4{m^2} - 4m}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}}\\g'\left( m \right) = \dfrac{{2{m^2} - 2m - 2}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}}\\g'\left( m \right) = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array}\)
BBT:

Dựa vào BBT \( \Rightarrow \min g\left( x \right) = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow {k^2} \ge \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = \dfrac{{6 - 2\sqrt 5 }}{4} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}}}{2}\) \( \Rightarrow k > \dfrac{{\sqrt 5  - 1}}{2}\).
Vậy \(k = \dfrac{{\sqrt 5  - 1}}{2}\).
Chọn B