Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

- Từ hai biểu thức đề bài cho, biến đổi để tìm \(\left( {\dfrac{x}{{x + 1}}g\left( x \right)} \right)' + \left( { - \dfrac{{x + 1}}{x}f\left( x \right)} \right)'\), sử dụng công thức đạo hàm của một tích.- Lấy nguyên hàm hai vế, tìm \(\dfrac{x}{{x + 1}}g\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{x}f\left( x \right)\). Từ đó tính tích phân cần tìm.Giải chi tiết:Ta có:\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}g\left( x \right) + 2020x = \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}g\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{x}f'\left( x \right) =  - 2020\,\,\,\left( 1 \right)\\\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{x^3}}}{{x + 1}}g'\left( x \right) + f\left( x \right) = 2021{x^2}\\ \Rightarrow \dfrac{x}{{x + 1}}g'\left( x \right) + \dfrac{1}{{{x^2}}}f\left( x \right) = 2021\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta có:\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}g\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{x}f'\left( x \right) + \dfrac{x}{{x + 1}}g'\left( x \right) + \dfrac{1}{{{x^2}}}f\left( x \right) = 1\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}g\left( x \right) + \dfrac{x}{{x + 1}}g'\left( x \right) + \dfrac{1}{{{x^2}}}f\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{x}f'\left( x \right) = 1\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right)'.g\left( x \right) + \dfrac{x}{{x + 1}}g'\left( x \right) + \left( { - \dfrac{{x + 1}}{x}} \right)'.f\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{x}f'\left( x \right) = 1\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{x}{{x + 1}}g\left( x \right)} \right)' + \left( { - \dfrac{{x + 1}}{x}f\left( x \right)} \right)' = 1\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{x}{{x + 1}}g\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{x}f\left( x \right)} \right)' = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{x + 1}}g\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{x}f\left( x \right) = x + C\end{array}\)Thay \(x = 2021\) ta có \(\begin{array}{l}\dfrac{{2021}}{{2022}}g\left( {2021} \right) - \dfrac{{2022}}{{2021}}f\left( {2021} \right) = 2021 + C\\ \Leftrightarrow 0 = 2021 + C \Leftrightarrow C =  - 2021\end{array}\)\( \Rightarrow \dfrac{x}{{x + 1}}g\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{x}f\left( x \right) = x - 2021\).Vậy \(\int\limits_1^{2021} {\left[ {\dfrac{x}{{x + 1}}g\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{x}f\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_1^{2021} {\left( {x - 2021} \right)dx}  = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2021x} \right)} \right|_1^{2021}\) \( =  - \dfrac{1}{2}{.2021^2} + 2021 - \dfrac{1}{2}\).Chọn D