Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định.
Chỉ ra các điểm cực trị của đồ thị hàm số, từ đó viết được dạng của \(f'\left( x \right)\) và \(f\left( x \right)\)
Biến đổi phương trình ban đầu về hàm đặc trưng.
Chuyển điều kiện bài toán ban đầu về điều kiện của hàm đặc trưng.Giải chi tiết:Điều kiện: \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{m{x^2}}} > 0 \Rightarrow m > 0\)
Ta nhận thấy \(f\left( x \right)\) có ba điểm cực trị là \( - 1,0,1\) nên \(y' = f'\left( x \right) = ax({x^2} - 1) \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{a}{4}{x^4} - \dfrac{a}{2}{x^2} + b\) và đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) đi qua hai điểm \(A(0;4)\) và \(B(1;3)\) nên \(f\left( x \right)\) có dạng: \(f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} + 4\)
Ta có:
\(\log \left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{m{x^2}}}} \right) + x\left( {f\left( x \right) - mx} \right) = m{x^3} - f\left( x \right) \Leftrightarrow \log \left( {f\left( x \right)} \right) + xf\left( x \right) + f\left( x \right) = \log \left( {m{x^2}} \right) + m{x^3} + m{x^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \log \left( {f\left( x \right)} \right) + f\left( x \right).\left( {x + 1} \right) = \log \left( {m{x^2}} \right) + m{x^2}(x + 1)\\ \Leftrightarrow \log \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) + f\left( x \right).\left( {x + 1} \right) = \log \left( {\left( {x + 1} \right)m{x^2}} \right) + m{x^2}(x + 1)\end{array}\)
Xét hàm đặc trưng \(h(t) = \log t + t\,(t > 0) \Rightarrow h'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 10}} + 1 > 0\)
Suy ra \(h(t)\) là hàm đơn điệu trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Khi đó \(\left( {x + 1} \right)f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)m{x^2} \Leftrightarrow m = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^4} - 2{x^2} + 4}}{{{x^2}}} = {\left( {x + \dfrac{2}{x}} \right)^2} - 6\)
Đặt \(a = x + \dfrac{2}{x}.\) Với hai số nguyên dương \(x,\dfrac{2}{x}\) ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(x + \dfrac{2}{x} \ge 2\sqrt 2 \)\( \Rightarrow m = {a^2} - 6,\,a \ge 2\sqrt 2 \)
Nhận thấy, mỗi giá trị của \(a > 2\sqrt 2 \) sẽ cho tương ứng hai giá trị của \(x > 0\)
Do đó, đặt \(g(a) = {a^2} - 6,\,a > 2\sqrt 2 \)
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình \(m = {a^2} - 6\) có một nghiệm \(a > 2\sqrt 2 \) khi \(m > 2.\) Kết hợp điều kiện \(m \in \left[ { - 2021;2021} \right]\) ta có \(2019\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.
Chọn A